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Variétés de Shimura, espaces de Rapoport-Zink et correspondances de Langlands locales

Shimura varieties, Rapoport-Zink spaces and local Langlands correspondences

Laurent FARGUES, Elena MANTOVAN
Variétés de Shimura, espaces de Rapoport-Zink et correspondances de Langlands locales
  • Année : 2004
  • Tome : 291
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11G18, 11Fxx, 14G35, 14L05, 14G22
  • Nb. de pages : xii+332
  • ISBN : 2-85629-150-3
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.616

Ce volume contient deux articles. Tous deux traitent de généralisations des résultats de Michael Harris et Richard Taylor sur la cohomologie des variétés de Shimura de type P.E.L. de signature $(1,n-1)$ ainsi que celle des espaces de Lubin-Tate. Ils reposent sur les travaux de Robert Kottwitz concernant ces mêmes variétés en signature quelconque, ainsi que ceux de Michael Rapoport et Thomas Zink sur les espaces de modules de groupes $p$-divisibles associés, espaces qui généralisent les espaces de Lubin-Tate ainsi que ceux de Drinfeld. Dans le premier article il est démontré que la cohomologie étale $\ell $-adique de certains de ces espaces de modules de groupes $p$-divisibles « supersinguliers »réalise des correspondances de Langlands locales. Pour cela l'auteur y établit une formule reliant la cohomologie de ces espaces à celle de la partie « supersingulière »d'une variété de Shimura. Il démontre ensuite que la partie supercuspidale de la cohomologie de ces variétés est entièrement contenue dans celle de la partie « supersingulière ». Le second article relie la cohomologie d'une strate de Newton de la variété de Shimura, par exemple la strate « supersingulière », à la cohomologie des espaces de modules locaux de groupes $p$-divisibles associés et à la cohomologie de variétés globales en caractéristique positive appelées variétés d'Igusa qui généralisent les courbes d'Igusa associées aux courbes modulaires.

This volume contains two articles. Both deal with generalizations of Michael Harris' and Richard Taylor's work on the cohomology of P.E.L. type Shimura varieties of signature $(1,n-1)$ and on the cohomology of Lubin-Tate spaces. They are based on the work of Robert Kottwitz on those varieties in the general signature case, and on the work of Michael Rapoport and Thomas Zink on moduli spaces of $p$-divisible groups generalizing the one of Lubin-Tate and Drinfeld. In the first article it is proved that the $\ell $-adique étale cohomology of some of those “supersingular” moduli spaces of $p$-divisible groups realizes some cases of local Langlands correspondences. For this the author establishes a formula linking the cohomology of those spaces to the one of the “supersingular” locus of a Shimura variety. Then he proves that the supercuspidal part of the cohomology of those varieties is completely contained in the one of the “supersingular” locus. The second article links the cohomology of a Newton stratum of the Shimura variety, for example the “supersingular” stratum, to the cohomology of the attached local moduli space of $p$-divisible groups and to the cohomology of some global varieties in positive characteristic named Igusa varieties that generalize the ical Igusa curves attached to modular curves.

Variétés de Shimura, groupes $p$-divisibles, espaces de Rapoport-Zink, correspondances de Langlands, cohomologie étale des espaces rigides
Shimura varieties, $p$-divisible groups, Rapoport-Zink spaces, Langlands correspondences, étale cohomology of rigid spaces
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