SMF

Sur certaines variétés de Shimura associées à des groupes unitaires

On certain unitary group Shimura varieties

Elena Mantovan
  • Année : 2004
  • Tome : 291
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G18, 14G35
  • Pages : 201-331
  • DOI : 10.24033/ast.618
Dans cet article, nous étudions la géométrie locale, en un nombre premier $p$, d'une certaine e de variétés de Shimura de type PEL. Nous commençons par étudier la stratification par le polygone de Newton de la fibre spéciale des variétés de Shimura ayant bonne réduction en $p$. Chaque strate peut être décrite en termes de produits des fibres réduites des espaces de Rapoport-Zink correspondants avec certaines variétés lisses, les variétés d'Igusa, et de l'action sur ces objets d'un certain groupe $p$-adique $T_\alpha $, qui dépend de la strate. Nous montrons en particulier qu'il est possible de calculer la cohomologie étale à support compact des strates du polygone de Newton, en termes de la cohomologie étale à support compact des variétés d'Igusa et des espaces de Rapoport-Zink, et de l'homologie des groupes de $T_\alpha $. De plus, nous parvenons à étendre localement (au sens de la topologie de Zariski) les constructions précédentes à la caractéristique nulle et à obtenir une description analogue de la cohomologie étale des variétés de Shimura, dans les cas de bonne comme de mauvaise réduction en $p$. Comme conséquence de cette étude, nous obtenons une description de la cohomologie $\ell $-adique des variétés de Shimura, en termes de la cohomologie $\ell $-adique à support compact des variétés d'Igusa et des espaces de Rapoport-Zink.
In this paper, we study the local geometry at a prime $p$ of a certain of (PEL) type Shimura varieties. We begin by studying the Newton polygon stratification of the special fiber of a Shimura variety with good reduction at $p$. Each stratum can be described in terms of the products of the reduced fiber of the corresponding Rapoport-Zink space with some smooth varieties (we call the Igusa varieties), and of the action on them of a certain $p$-adic group $T_\alpha $, which depends on the stratum. (The definition of the Igusa varieties in this context is based upon a result of Zink on the slope filtration of a Barsotti-Tate group and on the notion of Oort's foliation.) In particular, we show that it is possible to compute the étale cohomology with compact supports of the Newton polygon strata, in terms of the étale cohomology with compact supports of the Igusa varieties and the Rapoport-Zink spaces, and of the group homology of $T_\alpha $. Further more, we are able to extend Zariski locally the above constructions to characteristic zero and obtain an analogous description for the étale cohomology of the Shimura varieties in both the cases of good and bad reduction at $p$. As a result of this analysis, we obtain a description of the $\ell $-adic cohomology of the Shimura varieties, in terms of the $\ell $-adic cohomology with compact supports of the Igusa varieties and of the Rapoport-Zink spaces.
Variétés de Shimura, groupes $p$-divisibles, espaces de Rapoport-Zink, correspondances de Langlands
Shimura varieties, Barsotti-Tate groups, Rapoport-Zink spaces, Langlands correspondences
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