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Variétés des courbes rationnelles minimales de codimension $1$

Varieties of minimal rational tangents of codimension 1

Jun-Muk Hwang
Variétés des courbes rationnelles minimales de codimension $1$
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  • Année : 2013
  • Tome : 46
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14J40, 53B99
  • Pages : 629-649
  • DOI : 10.24033/asens.2197
Soit $X$ une variété projective uniréglée et soit $x$ un point général. D'après le résultat principal de [?], si le degré par rapport à $-K_X$ de toute courbe rationnelle passant par $x$ est au moins égal à $\dim (X)+1$, alors $X$ est un espace projectif. Dans cet article, nous étudions la structure de $X$ sous l'hypothèse que le degré par rapport à $-K_X$ de toute courbe rationnelle passant par $x$ est au moins égal à $\dim (X)$. Notre étude repose sur la variété projective $\mathcal C_x\subset \mathbb PT_x(X)$ que nous appelons la VMRT (variété des tangentes des courbes rationnelles minimales) en $x$ et qui est définie comme la réunion de toutes les directions tangentes aux courbes rationnelles passant par $x$ dont le degré par rapport à $-K_X$ est minimal. Lorsque ce degré est égal à $\dim (X)$, la VMRT $\mathcal C_x$ est une hypersurface de $\mathbb PT_x(X)$. Notre résultat principal affirme que si la VMRT en un point général d'une variété projective uniréglée $X$ de dimension $\geq 4$ est une hypersurface, alors $X$ est birationnelle au quotient d'une variété rationnelle explicite par l'action d'un groupe fini. Si, de plus, le rang du groupe de Picard de $X$ est égal à $1$, nous en déduisons que $X$ est une hypersurface quadrique d'un espace projectif.
Let $X$ be a uniruled projective manifold and let $x$ be a general point. The main result of [?] says that if the $(-K_X)$-degrees (i.e., the degrees with respect to the anti-canonical bundle of $X$) of all rational curves through $x$ are at least $\dim X +1$, then $X$ is a projective space. In this paper, we study the structure of $X$ when the $(-K_X)$-degrees of all rational curves through $x$ are at least $\dim X$. Our study uses the projective variety $\mathscr {C} _x \subset \mathbb {P} T_x(X)$, called the VMRT at $x$, defined as the union of tangent directions to the rational curves through $x$ with minimal $(-K_X)$-degree. When the minimal $(-K_X)$-degree of rational curves through $x$ is equal to $\dim X$, the VMRT $\mathscr {C} _x$ is a hypersurface in $\mathbb {P} T_x(X)$. Our main result says that if the VMRT at a general point of a uniruled projective manifold $X$ of dimension $\geq 4$ is a smooth hypersurface, then $X$ is birational to the quotient of an explicit rational variety by a finite group action. As an application, we show that, if furthermore $X$ has Picard number 1, then $X$ is biregular to a hyperquadric.
Variété des tangentes rationnelles minimales, courbes rationnelles minimales.
Varieties of minimal rational tangents, minimal rational curves.
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