Variétés des courbes rationnelles minimales de codimension 1
Varieties of minimal rational tangents of codimension 1

Anglais
Soit X une variété projective uniréglée et soit x un point général. D'après le résultat principal de [?], si le degré par rapport à −KX de toute courbe rationnelle passant par x est au moins égal à dim(X)+1, alors X est un espace projectif. Dans cet article, nous étudions la structure de X sous l'hypothèse que le degré par rapport à −KX de toute courbe rationnelle passant par x est au moins égal à dim(X). Notre étude repose sur la variété projective Cx⊂PTx(X) que nous appelons la VMRT (variété des tangentes des courbes rationnelles minimales) en x et qui est définie comme la réunion de toutes les directions tangentes aux courbes rationnelles passant par x dont le degré par rapport à −KX est minimal. Lorsque ce degré est égal à dim(X), la VMRT Cx est une hypersurface de PTx(X). Notre résultat principal affirme que si la VMRT en un point général d'une variété projective uniréglée X de dimension ≥4 est une hypersurface, alors X est birationnelle au quotient d'une variété rationnelle explicite par l'action d'un groupe fini. Si, de plus, le rang du groupe de Picard de X est égal à 1, nous en déduisons que X est une hypersurface quadrique d'un espace projectif.