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Variétés des courbes rationnelles minimales de codimension 1

Varieties of minimal rational tangents of codimension 1

Jun-Muk HWANG
Variétés des courbes rationnelles minimales de codimension $1$
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  • Année : 2013
  • Fascicule : 4
  • Tome : 46
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14J40, 53B99
  • Pages : 629-649
  • DOI : 10.24033/asens.2197

Soit X une variété projective uniréglée et soit x un point général. D'après le résultat principal de [?], si le degré par rapport à KX de toute courbe rationnelle passant par x est au moins égal à dim(X)+1, alors X est un espace projectif. Dans cet article, nous étudions la structure de X sous l'hypothèse que le degré par rapport à KX de toute courbe rationnelle passant par x est au moins égal à dim(X). Notre étude repose sur la variété projective CxPTx(X) que nous appelons la VMRT (variété des tangentes des courbes rationnelles minimales) en x et qui est définie comme la réunion de toutes les directions tangentes aux courbes rationnelles passant par x dont le degré par rapport à KX est minimal. Lorsque ce degré est égal à dim(X), la VMRT Cx est une hypersurface de PTx(X). Notre résultat principal affirme que si la VMRT en un point général d'une variété projective uniréglée X de dimension 4 est une hypersurface, alors X est birationnelle au quotient d'une variété rationnelle explicite par l'action d'un groupe fini. Si, de plus, le rang du groupe de Picard de X est égal à 1, nous en déduisons que X est une hypersurface quadrique d'un espace projectif.

Let X be a uniruled projective manifold and let x be a general point. The main result of [?] says that if the (KX)-degrees (i.e., the degrees with respect to the anti-canonical bundle of X) of all rational curves through x are at least dimX+1, then X is a projective space. In this paper, we study the structure of X when the (KX)-degrees of all rational curves through x are at least dimX. Our study uses the projective variety CxPTx(X), called the VMRT at x, defined as the union of tangent directions to the rational curves through x with minimal (KX)-degree. When the minimal (KX)-degree of rational curves through x is equal to dimX, the VMRT Cx is a hypersurface in PTx(X). Our main result says that if the VMRT at a general point of a uniruled projective manifold X of dimension 4 is a smooth hypersurface, then X is birational to the quotient of an explicit rational variety by a finite group action. As an application, we show that, if furthermore X has Picard number 1, then X is biregular to a hyperquadric.

Variété des tangentes rationnelles minimales, courbes rationnelles minimales.
Varieties of minimal rational tangents, minimal rational curves.