G. Ricotta et E. Royer (2018) ont récemment prouvé que le chemin polygonal joignant les sommes partielles des sommes de Kloosterman classiques normalisées $S\left(a,b;p^n\right)/p^{n/2}$ converge en loi dans l'espace de Banach des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs complexes vers une série de Fourier aléatoire explicite lorsque $(a,b)$ parcourt $\left(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\right)^\times\times\left(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\right)^\times$, $p$ tend vers l'infini parmi les nombres premiers impairs et $n\geq 2$ est un entier fixé. Ceci est l'analogue du résultat obtenu par E.~Kowalski et W.~Sawin (2016) dans le cas des modules premiers. L'objectif de ce travail est de prouver une convergence en loi dans cet espace de Banach lorsque seul $a$ parcourt $\left(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\right)^\times$, $p$ tend vers l'infini parmi les nombres premiers impairs et $n\geq 31$ est un entier fixé.