On caractérise géométriquement les effets régularisants des semi-groupes engendrés par les opérateurs quadratiques accrétifs. En corollaire, on déduit des inégalités sous-elliptiques associées à ces opérateurs, considérées comme optimales. Ces résultats démontrent des conjectures de M. Hitrik, K. Pravda-Starov et J. Viola. La démonstration repose sur une nouvelle représentation de la décomposition polaire de ces semi-groupes. En particulier, on écrit la partie autoadjointe comme un opérateur d'évolution engendré par la quantification de Weyl d'une forme quadratique positive dépendante du temps, pour laquelle on établit une minoration anisotrope précise.