Dans un de ses articles, C. Viterbo définit une distance sur l’ensemble des difféomorphismes hamiltoniens de $\mathbb{R}^{2n}$ , muni de sa forme symplectique standard $\omega_0=dp\wedge dq$. Nous étudions les complétés de cet espace pour la topologie induite par la distance de Viterbo, ainsi que d’autres qui en sont dérivées. Nous explicitons leurs différentes
inclusions et donnons certaines de leur propriétés.

En particulier, nous donnons un critère de convergence pour ces distances qui nous permet de montrer que les complétés contiennent des éléments intéressants, comme, par exemple, des hamiltoniens discontinus. Nous prouvons aussi que certains aspects de la dynamique hamiltonienne sont préservés dans les complétés.