Soit $\mathrm{F}/\mathrm{F}_{\mathsf{o}}$ une extension quadratique de corps locaux non archimédiens de caractéristique résiduelle impaire. Posons $\mathrm{G}=\operatorname{GL}_n(F)$, $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}=\operatorname{GL}_n(\mathrm{F}_{\mathsf{o}})$ et soit $\ell$ un nombre premier différent de la caractéristique résiduelle de $\mathrm{F}$. Pour une représentation cuspidale complexe $\pi$ de $\mathrm{G}$, le facteur $\mathrm{L}$ d'Asai $\mathrm{L}_{\mathrm{As}}(\mathrm{X},\pi)$ admet un pôle en $\mathrm{X}=1$ si et seulement si $\pi$ est $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$-distinguée. Dans cet article nous résolvons le problème de l'occurence d'un pôle en $\mathrm{X}=1$ de $\mathrm{L}_{\mathrm{As}}(\mathrm{X},\pi)$ quand $\pi$ est une représentation cuspidale $\ell$-modulaire de $\mathrm{G}$: dans ce cas $\mathrm{L}_{\mathrm{As}}(\mathrm{X},\pi)$ admet un pôle en $\mathrm{X}=1$ si et seulement si $\pi$ est relativement banale distinguée ; autrement dit $\pi$ est $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$-distinguée mais pas $\vert\det(~ )|_{\mathrm{F}_{\mathsf{o}}}$-distinguée.  Cette notion est l'analogue pour l'espace symétrique $\mathrm{G}/\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$ de la notion de cuspidale banale introduite par Mínguez et Sécherre pour les $\overline{\mathbb{F}_\ell}$-représentations de~$\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$.

En cours de route, on calcule le facteur $\mathrm{L}$ d'Asai des représentations cuspidales $\ell$-modulaires de $\mathrm{G}$ par la théorie des types, et on prouve de nouveaux résultats concernant le relèvement et la réduction modulo $\ell$ des représentations cuspidales distinguées. Finalement, on détermine quand la $\mathrm{G}_{{\mathsf{o}}}$-période sur le modèle de Whittaker d'une représentation cuspidale distinguée de $\mathrm{G}$ est non nulle.