Nous montrons de deux manières différentes que l'application monodromie, depuis l'espace des $\mathfrak{sl}_2$ systèmes différentiels irréductibles sur les surfaces de Riemann de genre deux, vers la variété de caractères des $\mathrm{SL}_2$ représentations du groupe fondamental, est un difféomorphisme local. Nous montrons aussi que ce n'est plus le cas en genre supérieur. Notre travail est motivé par une question d'Étienne Ghys à propos d'un problème de Margulis : l'existence de courbes de caractéristique d'Euler négative dans les quotients compacts de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$.