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Un critère de récurrence pour certains espaces homogènes

Recurrence criterion for homogeneous spaces

Caroline BRUÈRE
Un critère de récurrence pour certains espaces homogènes
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 1
  • Tome : 147
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 37B20, 37A30, 22E46, 22D40
  • Pages : 91-121
  • DOI : 10.24033/bsmf.2776

Soit $G$ un groupe de Lie algébrique connexe semi-simple réel, $H$ un sous-groupe algébrique de $G$, $\mu$ une mesure de probabilité sur $G$ à moment exponentiel fini dont le support engendre un sous-semi-groupe Zariski-dense de $G$.  Soit $X=G/H$ le quotient de $G$ par $H$.  On étudie la chaîne de Markov sur $X$ de probabilité de transition $P_x=\mu *\delta_x$ pour $x\in X$. On montre que soit pour tout $x\in X$, presque toute trajectoire partant de $x$ est transiente, soit pour tout $x\in X$, presque toute trajectoire partant de $x$ est récurrente.  Cette récurrence est en fait uniforme, c'est-à-dire que pour tout point $x\in X$, presque toute trajectoire partant de~$x$ revient infiniment souvent dans un compact $C \subset X$ ne dépendant pas de $x$.  De plus, on donne un critère de récurrence en fonction de $G$, $H$, et $\mu$.

Let $G$ be a real connected algebraic semi-simple Lie group, and $H$ an algebraic subgroup of $G$. Let $\mu$ be a probability measure on $G$, with finite exponential moment, whose support spans a Zariski-dense subsemigroup of $G$.  Let $X=G/H$ be the quotient of $G$ by $H$.  We study the Markov chain on~$X$ with transition probability $P_x=\mu *\delta_x$ for $x\in X$.  We prove that either for every $x\in X$, almost every trajectory starting from $x$ is transient or for every $x\in X$, almost every trajectory starting from $x$ is recurrent.  In fact, this recurrence is uniform over all $X$, i.e. there exists a compact set $C\subset X$ such that for each point $x\in X$, every trajectory starting in $x$ almost surely returns to $C$ infinitely often. Furthermore, we give a criterion for recurrence depending on $G$, $H$, and $\mu$.

Récurrence, groupe de Lie semi-simple réel, transience, chaine de Markov espace homogène
Recurrence, transience, real semi-simple Lie groupe, Markov chain, homogeneous space
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