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Un critère de récurrence pour certains espaces homogènes

Recurrence criterion for homogeneous spaces

Caroline BRUÈRE
Un critère de récurrence pour certains espaces homogènes
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 1
  • Tome : 147
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 37B20, 37A30, 22E46, 22D40
  • Pages : 91-121
  • DOI : 10.24033/bsmf.2776

Soit G un groupe de Lie algébrique connexe semi-simple réel, H un sous-groupe algébrique de G, μ une mesure de probabilité sur G à moment exponentiel fini dont le support engendre un sous-semi-groupe Zariski-dense de G.  Soit X=G/H le quotient de G par H.  On étudie la chaîne de Markov sur X de probabilité de transition Px=μδx pour xX. On montre que soit pour tout xX, presque toute trajectoire partant de x est transiente, soit pour tout xX, presque toute trajectoire partant de x est récurrente.  Cette récurrence est en fait uniforme, c'est-à-dire que pour tout point xX, presque toute trajectoire partant de~x revient infiniment souvent dans un compact CX ne dépendant pas de x.  De plus, on donne un critère de récurrence en fonction de G, H, et μ.

Let G be a real connected algebraic semi-simple Lie group, and H an algebraic subgroup of G. Let μ be a probability measure on G, with finite exponential moment, whose support spans a Zariski-dense subsemigroup of G.  Let X=G/H be the quotient of G by H.  We study the Markov chain on~X with transition probability Px=μδx for xX.  We prove that either for every xX, almost every trajectory starting from x is transient or for every xX, almost every trajectory starting from x is recurrent.  In fact, this recurrence is uniform over all X, i.e. there exists a compact set CX such that for each point xX, every trajectory starting in x almost surely returns to C infinitely often. Furthermore, we give a criterion for recurrence depending on G, H, and μ.

Récurrence, groupe de Lie semi-simple réel, transience, chaine de Markov espace homogène
Recurrence, transience, real semi-simple Lie groupe, Markov chain, homogeneous space