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L'application de Riemann-Hilbert pour les $\mathfrak{sl}_2$-systèmes sur les courbes de genre deux

The Riemann-Hilbert mapping for $\mathfrak{sl}_2$ systems over genus two curves

Gabriel CALSAMIGLIA, Bertrand DEROIN, Viktoria HEU, Frank LORAY
L'application de Riemann-Hilbert pour les $\mathfrak{sl}_2$-systèmes sur les courbes de genre deux
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 1
  • Tome : 147
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 34Mxx, 14Q10, 32G34, 53A30, 14H15
  • Pages : 159-195
  • DOI : 10.24033/bsmf.2778

Nous montrons de deux manières différentes que l'application monodromie, depuis l'espace des $\mathfrak{sl}_2$ systèmes différentiels irréductibles sur les surfaces de Riemann de genre deux, vers la variété de caractères des $\mathrm{SL}_2$ représentations du groupe fondamental, est un difféomorphisme local. Nous montrons aussi que ce n'est plus le cas en genre supérieur. Notre travail est motivé par une question d'Étienne Ghys à propos d'un problème de Margulis : l'existence de courbes de caractéristique d'Euler négative dans les quotients compacts de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$.

We prove in two different ways that the monodromy map from the space of irreducible $\mathfrak{sl}_2$ differential systems on genus two Riemann surfaces, towards the character variety of $\mathrm{SL}_2$ representations of the fundamental group, is a local diffeomorphism.  We also show that this is no longer true in the higher genus case.  Our work is motivated by a question raised by Étienne Ghys about Margulis' problem: the existence of curves of negative Euler characteristic in compact quotients of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$.

$\mathfrak{sl}_2$-systèmes sur les courbes, monodromie, Riemann-Hilbert, structures projectives, connexions holomorphes, feuilletages
$\mathfrak{sl}_2$ systems over curves, monodromy, Riemann-Hilbert, projective structures, holomorphic connections, foliations
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