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Équations d'ondes sur des fonds cosmologiques

Linear systems of wave equations on cosmological backgrounds with convergent asymptotics

Hans RINGSTRÖM
Équations d'ondes sur des fonds cosmologiques
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  • Année : 2020
  • Tome : 420
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35L10, 35L15, 35Q75, 53B30, 53C50, 58J45, 83F05
  • Nb. de pages : xi+510
  • ISBN : 978-2-85629-926-5
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1123

Cet article concerne les systèmes linéaires d'équations d'ondes sur des fonds cosmologiques asymptotiquement convergents. Cette condition de convergence porte une version renormalisée de la deuxième forme fondamentale et est en particulier vérifiée pour les solutions de type Kasner. Le résultat principal de l'article est la démonstration d'estimations d'énergie optimales. De plus, nous obtenons aussi les asymptotiques des solutions et montrons que les premiers termes dans le développement asymptotique peuvent être prescrits, même dans certaines situations où les asymptotiques ne sont pas convergentes.

Lorsque les coefficients des dérivées spatiales décroissent exponentiellement, il est naturel et souvent admis en première approximation que l'on peut négliger leur contribution dans les équations. Néanmoins, nous montrons que cette heuristique est, en géneral, incorrecte en construisant des exemples d'équations telles que
1) les coefficients des dérivées spatiales de l'équation décroissent exponentiellement
2) les coefficients des dérivées en temps sont constants
3) l'énergie de chaque mode individuel des solutions
décroit exponentiellement
4) l'énergie des solutions génériques croit en $\exp[ \exp (t) ]$.

Lorsque les coefficients des dérivées spatiales croissent exponentiellement, les modes de Fourier oscillent avec une fréquence qui croît exponentiellement. Pour obtenir des asymptotiques, nous fixons un mode et considérons l'évolution sur une période. De plus, nous remplaçons l'évolution (sur une période) avec une multiplication matricielle. Nous ne pouvons pas calculer explicitement ces matrices, mais déterminons des approximations. Pour obtenir des asymptotiques, il faut alors calculer un produit matriciel infini avec pour chaque facteur uniquement une approximation. Néanmoins, nous obtenons des asymptotiques détaillées. Plus précisément, malgré le comportement oscillatoire et la croissance des fréquences, il est possible d'extraire un comportement global (croissance/décroissance). De plus, nous sommes également en mesure de spécifier les asymptotiques principales.

The subject of the article is linear systems of wave equations on cosmological backgrounds with convergent asymptotics. The condition of convergence corresponds to the requirement that the second fundamental form, when suitably normalised, converges. The model examples are the Kasner solutions. The main result of the article is optimal energy estimates. However, we also derive asymptotics and demonstrate that the leading order asymptotics can be specified (also in situations where the asymptotics are not convergent).

It is sometimes argued that if the factors multiplying the spatial derivatives decay exponentially (for a system of wave equations), then the spatial derivatives can be ignored. This line of reasoning is incorrect: we give examples of equations such that
1) the factors multiplying the spatial derivatives decay exponentially,
2) the factors multiplying the time derivatives are constants,
3) the energies of individual modes of solutions asymptotically decay exponentially, and
4) the energies of generic solutions grow as $\exp[\exp(t)]$ as $t\rightarrow\infty$.

When the factors multiplying the spatial derivatives grow exponentially, the Fourier modes of solutions oscillate with a frequency that grows exponentially. To obtain asymptotics, we fix a mode and consider the net evolution over one period. Moreover, we replace the evolution (over one period) with a matrix multiplication. We cannot calculate the matrices explicitly, but we approximate them. To obtain the asymptotics we need to calculate a matrix product where there is no bound on the number of factors, and where each factor can only be approximated. Nevertheless, we obtain detailed asymptotics. In fact, it is possible to isolate an overall behaviour (growth/decay) from the (increasingly violent) oscillatory behaviour. Moreover, we are also in a position to specify the leading order asymptotics.

Équations hyperboliques sur des variétés; équations d'ondes; comportement asymptotique; estimations d'é}nergie; variétés Lorenziennes; relativité générale; cosmologie
Hyperbolic equations on manifolds; wave equations; asymptotic behaviour; energy estimates; Lorentz manifolds; general relativity; cosmology
Prix
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Quantité
- +