Dans les années 70, J-P. Serre a démontré que dans un pro-$p$-groupe de type fini tout sous-groupe d'indice fini est ouvert, et il a remarqué qu'il ne savait pas si cette conclusion reste valide pour des groupes profinis quelconques de type fini. Ce fait a été établi seulement en 2003, par Nikolov et Segal.  Le résultat s'appuie fortement sur des propriétés de grande importance des valeurs de mots (éléments d'un groupe abstrait libre) dans des groupes finis, qui auront probablement d'autres applications. Nous décrivons le contexte pour ces résultats, quelques caractéristiques de la démonstration, des résultats connexes, et quelques exemples qui montrent comment les résultats peuvent s'appliquer.