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Exposé Bourbaki 1027 : La méthode du retour en contrôlabilité et ses applications en mécanique des fluides d'après Coron et al.

Exposé Bourbaki 1027 : The return method in controllability and applications to fluid mechanics according to Coron et al.

Olivier GLASS
Exposé Bourbaki 1027 : La méthode du retour en contrôlabilité et ses applications en mécanique des fluides d'après Coron et al.
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  • Année : 2012
  • Tome : 348
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 93C20, 35Q30, 35Q31
  • Pages : 1-16

Un système de contrôle est une équation d'évolution dépendant d'un paramètre. La théorie du contrôle cherche à déterminer comment l'on peut choisir ce paramètre en fonction du temps afin de modifier la dynamique dans un sens prescrit. Le problème de contrôlabilité s'intéresse en particulier à la possibilité de faire passer l'état du système d'un point de départ à une cible prescrite, celui de stabilisation à la possibilité de rendre un point d'équilibre stable. Dans le cas d'équations non linéaires, l'approche usuelle pour obtenir ce type de propriété est de linéariser le système, puis d'obtenir un résultat sur le linéarisé par des méthodes classiques. Cependant dans de nombreux systèmes d'origine physique, le linéarisé n'est pas nécessairement contrôlable.
La méthode du retour introduite par J.-M. Coron permet de contourner cet obstacle. Dans cet exposé, nous nous intéresserons d'abord au problème pour lequel cette méthode a été introduite, qui concerne la stabilisation de certains systèmes de dimension finie ; puis nous illustrerons la méthode par deux exemples issus de la mécanique des fluides incompressibles~: l'un, dû à J.-M. Coron, concernant l'équation d'Euler, l'autre, dû à J.-M. Coron et S. Guerrero, concernant l'équation de Navier-Stokes

A control system is an evolution equation depending on some parameter. Control theory aims at determining how one can suitably choose this parameter as a function of time in order to modify the dynamics of the system in a prescribed way. In particular, the controllability problem raises the question whether it is possible to steer the state of the system from any initial state to any prescribed target. The problem of asymptotic stabilization wonders whether it is possible to make an equilibrium point stable. When it comes to nonlinear systems, the usual approach consists in linearizing the system and in proving a result on the linear system by using classical techniques. However in many physical situations, the linearized system fails to be controllable. The return
method has been introduced by J.-M. Coron in order to circumvent this difficulty. To illustrate this method, we will first consider the problem for which this method has been introduced. It concerns the asymptotic stabilization of finite dimensional control systems. Then we will illustrate the method with two examples coming from fluid mechanics. The first example, due to J.-M. Coron, concerns the Euler equation for perfect incompressible fluids. The second example, due to J.-M. Coron and S. Guerrero, concerns the Navier-Stokes equation.

Théorie du contrôle, équations aux dérivées partielles, mécanique des fluides
Control theory, Partial differential equations, fluid mechanics
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