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Exposé Bourbaki 1028 : Crible en expansion

Exposé Bourbaki 1028 :

Emmanuel KOWALSKI
Exposé Bourbaki 1028 : Crible en expansion
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  • Année : 2012
  • Tome : 348
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11N05, 11N35, 11N36, 20F69, 05C25
  • Pages : 17-64

Récemment, particulièrement sous l'impulsion de J. Bourgain, A. Gamburd et P. Sarnak, les méthodes de crible, bien connues en théorie analytique des nombres, ont été introduites dans l'étude de problèmes concernant des objets arithmétiques liés à l'action de groupes discrets à croissance exponentielle (par exemple, les points d'une orbite d'un tel groupe agissant sur un espace affine). Dans ce type de contexte, l'application du crible s'avère dépendre crucialement de propriétés d'expansion de familles de graphes associés à des quotients finis du groupe considéré. De nombreux travaux ont ainsi été consacrés à l'extension de ces propriétés à de nouvelles situations : on peut citer les travaux de Kantorovich-Oh concernant la théorie spectrale de certaines surfaces ou variétés hyperboliques de volume infini, et ceux de Helfgott, Bourgain-Gamburd-Sarnak, Breuillard-Green-Tao, Pyber-Szabò, Varju et d'autres, concernant les propriétés d'expansion des sous-groupes Zariski-denses de groupes linéaires. L'exposé présentera ces nouveaux aspects du crible, en essayant de mettre en valeur les principes généraux et certaines des applications les plus élégantes, ainsi que diverses questions encore ouvertes.

Recently, under the impulsion of J. Bourgain, A. Gamburd and P. Sarnak, the well-known sieve methods of analytic number theory have been introduced in the study of problems concerning arithmetic objects linked to actions of discrete groupes with exponential growth (for instance, the points of an orbit of such a group on an affine space). In this context, the applicability of sieve estimates turns out to depend crucially on expanding properties of families of graphs associated to some finite quotients of the discrete group. Many recent works have led to new cases of expansion, including for infinite-index, Zariski-dense, subgroups of arithmetic groups. We describe the basic examples of the problems which can be treated, emphasizing the general principles involved.

 

Sieve methods, equidistribution, property (tau), expander graphs
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