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Exposé Bourbaki 1026 : Sous-groupes d'indice fini et sous-groupes verbaux des groupes profinis

Exposé Bourbaki 1026 : Finite index subgroups and verbal subgroups in profinite group

John S. WILSON
Exposé Bourbaki 1026 : Sous-groupes d'indice fini et sous-groupes verbaux des groupes profinis
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  • Année : 2011
  • Tome : 339
  • Format : Électronique
  • Class. Math. : 20E18, 20F12, 20F10, 20D99
  • Pages : 387-408

Dans les années 70, J-P. Serre a démontré que dans un pro-$p$-groupe de type fini tout sous-groupe d'indice fini est ouvert, et il a remarqué qu'il ne savait pas si cette conclusion reste valide pour des groupes profinis quelconques de type fini. Ce fait a été établi seulement en 2003, par Nikolov et Segal.  Le résultat s'appuie fortement sur des propriétés de grande importance des valeurs de mots (éléments d'un groupe abstrait libre) dans des groupes finis, qui auront probablement d'autres applications. Nous décrivons le contexte pour ces résultats, quelques caractéristiques de la démonstration, des résultats connexes, et quelques exemples qui montrent comment les résultats peuvent s'appliquer.

In the 1970s, after proving a weaker statement, J-P. Serre commented that he did not know whether all subgroups of finite index in finitely generated profinite groups are open.  A result of Nikolov and Segal concerning finite groups proved in 2003 shows that this is indeed the case. This result is the most spectacular achievement in a type of group theory whose importance is being increasingly recognised: the study of the distribution of the values of a fixed group word in finite groups.

Groupes profinis, sous-groupes d'indice fini, sous-groupes verbaux, valeurs des mots
Profinite groups, subgroups of finite index, verbal subgroups, word values
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