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Exposé Bourbaki 1025 : La conjecture ACC pour les seuils log canoniques d'après de Fernex, Ein, Mustata, Kollàr

Exposé Bourbaki 1025 : The ACC conjecture for log canonical thresholds after de Fernex, Ein, Mustata, Kollàr

Burt TOTARO
Exposé Bourbaki 1025 : La conjecture ACC pour les seuils log canoniques d'après de Fernex, Ein, Mustata, Kollàr
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  • Année : 2011
  • Tome : 339
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14B05, 14E30, 14E15
  • Pages : 371-385

La conjecture des modèles minimaux en géométrie algébrique vise à construire une variété projective la plus " simple " possible qui soit birationnelle à une variété donnée arbitraire. Shokurov a montré comment établir cette conjecture sous l'hypothèse que certains invariants de singularités satisfont la condition de chaîne ascendante (ACC). Ces invariants sont des nombres rationnels, d'autant plus grands que les singularités sont douces. Ainsi, la conjecture ACC affirme que les singularités ne peuvent être " adoucies " indéfiniment. Bien que les conjectures ACC soient encore ouvertes dans le cas général, de Fernex, Ein et Mustata (avec des contributions de Kollàr)
ont donné une preuve élégante de la conjecture ACC pour les seuils log-canoniques des hypersurfaces dans des variétés lisses de dimension arbitraire.

The minimal model conjecture in algebraic geometry tries to produce a ``simplest'' projective variety which is birational to any given variety. Shokurov showed that the minimal model conjecture would follow if certain invariants of singularities satisfied the ascending chain condition (ACC). These invariants are rational numbers, with milder singularities corresponding to larger invariants. Thus the ACC conjectures say that singularities cannot be ``improved'' infinitely many times. Although the general ACC conjectures remain open, de Fernex, Ein, and Mustatata (with contributions by Kollàr) gave an elegant proof of ACC for log canonical thresholds of hypersurfaces in smooth varieties of any dimension.

Conjecture des modèles minimaux, seuil log-canonique, condition de chaîne ascendante, approximation $m$-adique, théorème de connexité de Shokurov
Minimal models conjecture, log canonical threshold, ascending chain condition, $m$-adic approximation, Shokurov's connectedness theorem.
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