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Exposé Bourbaki 1053 : Les résonances en espace temps d'après Germain, Masmoudi, Shatah

Exposé Bourbaki 1053 : Space time resonances after Germain, Masmoudi, Shatah

David LANNES
Exposé Bourbaki 1053 : Les résonances en espace temps d'après Germain, Masmoudi, Shatah
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  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B34, 35E20, 35B60, 35Q60, 35Q35
  • Pages : 355-388

Germain, Masmoudi et Shatah ont récemment prouvé des résultats d'existence globale pour des équations non-linéaires dispersives à petites conditions initiales. Pour prouver ces résultats, ils introduisent la notion de résonance en espace temps. On reliera dans cet exposé ce nouvel outil à plusieurs concepts  développés dans le cadre du programme de Fritz John visant  à prouver l'existence de solutions globales à données petites pour de nombreuses équations aux dérivées partielles non-linéaires : formes normales de Shatah, méthode des champs de vecteurs de Klainerman, condition nulle, etc. Il est connu que la condition nulle de Klainerman sur les non-linéarités joue un rôle central pour l'existence globale de solutions. Dans la présentation des trois méthodes mentionnées ci-dessus, nous mettrons en évidence d'autres conditions de structure sur les non-linéarités. Nous parlerons en particulier de non-linéarités compatibles et transparentes, cette dernière notion ayant été mise en évidence par Joly, Métivier et Rauch en optique non-linéaire. Nous montrerons comment ces conditions sont reliées à la condition nulle, et mentionnerons d'autres exemples d'applications pour lesquels elle s'avèrent pertinentes. Nous exposerons enfin comment Germain, Masmoudi et Shatah ont utilisé la méthode des résonances en espace temps pour obtenir un théorème d'existence globale pour les ondes de surface en profondeur infinie en dimension 2 de surface (un résultat à relier à un théorème de S. Wu obtenu avec des méthodes différentes).

Germain, Masmoudi and Shatah recently proved several global existence results for nonlinear dispersive equations with small data. To prove these results, they introduce the notion of space time resonance. We will link this new tool to other concepts developed in Fritz John's program aiming at proving global existence for small data for many nonlinear partial differential equations: Shatah's normal forms, Klainerman's vector fields method and null condition, etc. It is known that Klainerman's null condition on the nonlinearities plays a central role for global existence of the solutions. In the presentation of the three methods mentioned above, we will point out other structural conditions on the nonlinearities. We will in particular mention compatible and transparent nonlinearities, this latter coming from works of Joly, Métivier and Rauch in nonlinear optics. We will explain how these notions are related to the null condition and mention other examples of application where they are relevant. Finally, we will explain how Germain, Masmoudi and Shatah used the space time resonance approach to obtain a global existence result for 2 dimensional surface water waves (a result that has to be related to a theorem by S. Wu obtained with different methods).

Résonances en espace temps, existence globale, équations non-linéaires dispersives, condition nulle
Space time resonances, global existence, nonlinear dispersive equations, null condition

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