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Exposé Bourbaki 1055 : La conjecture des sous-groupes de surfaces d'après Jeremy Kahn et Vladimir Markovic

Exposé Bourbaki 1055 : The surface subgroup conjecture after Jeremy Kahn and Vladimir Markovic

Nicolas BERGERON
Exposé Bourbaki 1055 : La conjecture des sous-groupes de surfaces d'après Jeremy Kahn et Vladimir Markovic
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  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 57-99, 30F99, 53-99
  • Pages : 429-458

Suite aux travaux de William Thurston et Grigori Perelman la compréhension des variétés compactes de dimension 3 se ramène essentiellement à la compréhension de celles d'entre elles qui peuvent être munies d'une structure hyperbolique, c'est-à-dire d'une métrique riemannienne de courbure sectionnelle constante égale à -1. La topologie de ces dernières restait mystérieuse jusqu'à tout récemment. La situation a commencé à changer avec la démonstration, par Jeremy Kahn et Vladimir Markovic, du fait que le groupe fondamental d'une variété hyperbolique compacte de dimension 3 contient toujours le groupe fondamental d'une surface de genre supérieur à 2. Dans cet exposé, j'expliquerai les grandes idées de cette démonstration. Puis je relierai ce résultat aux travaux de Dani Wise et Ian Agol sur la "conjecture virtuellement Haken" et aux travaux de Kahn et Markovic sur la "conjecture d'Ehrenpreis".

It follows from the work of William Thurston and Grigori Perelman that understanding closed $3$-dimensional} manifolds essentially boils down to understanding those of them that can be provided with a hyperbolic structure, that is to say with a Riemannian metric of constant sectional curvature equal to $-1$. The topology of the latter remained mysterious until recently. The situation began to change with the demonstration by Jeremy Kahn and Vladimir Markovic that the fundamental group of a closed hyperbolic $3$-manifold always contains the fundamental group of a surface of genus greater than $2$. In this talk I will explain the main ideas of their demonstration. Then I will connect this result to the work of Dani Wise and Ian Agol on the "virtually Haken conjecture'' and to another work of Kahn and Markovic on the "Ehrenpreis conjecture''.

Mélange exponentiel du fibré des repères, variétés hyperboliques de dimension~3, groupes quasi-fuchsiens
Exponential mixing of the frame flow, hyperbolic 3-manifolds, quasifuchsian groups

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