En théorie de Hodge $p$-adique, on utilise de façon cruciale le fait que la théorie de Galois d'une extension algébrique suffisamment ramifiée de $\mathbb Q_p$ (par exemple une $\mathbb Z_p$-extension ramifiée) s'identifie à la théorie de Galois d'un corps valué complet de caractéristique $p$. En utilisant une vaste généralisation de cette construction, Scholze  introduit certains espaces analytiques ultramétriques, les {\it espaces perfectoïdes}. À tout espace  perfectoïde $X$ sur un corps perfectoïde~$K$,  il associe un espace perfectoïde $X^\flat$ sur le corps perfectoïde $K^\flat$ de caractéristique~$p$ et cette construction est une équivalence de catégories. En outre,  le site étale de $X$ s'identifie à celui de~$X^\flat$.

Ceci permet à Scholze de donner une preuve simple  du théorème de presque pureté de Faltings et de ramener la conjecture monodromie-poids pour les intersections complètes dans les variétés toriques en caractéristique mixte au théorème de Deligne en égale caractéristique.