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Exposé Bourbaki 1056 : Les espaces de Berkovich sont modérés d'après Ehud Hrushovski et François Loeser

Exposé Bourbaki 1056 : Berkovich spaces are tame after Ehud Hrushovski and François Loeser

Antoine DUCROS
Exposé Bourbaki 1056 : Les espaces de Berkovich sont modérés d'après Ehud Hrushovski et François Loeser
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  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 03C64, 03C65, 03C99, 14G22
  • Pages : 459-507

Jusqu'à récemment, l'étude homotopique des espaces de  Berkovich se fondait sur des théorèmes profonds et difficiles  de géométrie arithmétique. Dans cet exposé, nous en présenterons  une approche radicalement nouvelle due à Hrushovski et Loeser.  Elle repose sur la théorie des modèles des corps valués et a  notamment permis de prouver le résultat suivant : si $X$ est une  variété algébrique quasi-projective sur un corps ultramétrique  complet $k$, toute partie semi-algébrique de l'espace de Berkovich  associé à $X$ est localement contractile, et a le type d'homotopie  d'un polyèdre compact.

Traditionally, the study of the homotopy type of Berkovich  spaces was based upon deep and difficult theorems in  arithmetic geometry. In this talk, we will present a completely  different approach, which is due to Hrushovski and Loeser.  It makes an intensive use of the model theory of valued fields,  and it has (among other things) yielded the following result:  if $X$ is a quasi-projective algebraic variety over a  non-Archimedean, complete field $k$, every semi-algebraic  subset of the Berkovich space associated to $X$ is locally  contractible, and has the homotopy type of a compact  polyhedron.

Espaces de Berkovich, mod\'eration topologique, types stablement dominés
Berkovich spaces, topological tameness, stably dominated types

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