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Exposé Bourbaki 1054 : Progressions arithmétiques et polynomiales dans l'ensemble des nombres premiers

Exposé Bourbaki 1054 : Arithmetic and polynomial progressions in the primes after Gowers, Green, Tao and Ziegler

Julia WOLF
Exposé Bourbaki 1054 : Progressions arithmétiques et  polynomiales
dans l'ensemble des nombres premiers
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  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11B30, 11N13, 11B25
  • Pages : 389-427

Dans un article célèbre de 2004, Green et Tao ont démontré que  l'ensemble des nombres premiers contient des progressions  arithmétiques de toutes longueurs. Quelques années plus tard,  Tao et Ziegler ont généralisé ce résultat: pour toute famille de  polyn\^omes $P_1, \dots, P_k \in {\mathbb Z}[m]$ tels que $P_1(0)= \dots=P_k(0)=0$,  il existe une infinité d'entiers $x,m$ tels que $x+P_1(m), \dots, x+P_k(m)$  soient premiers simultanément. Dans cet exposé nous donnons  une esquisse de la stratégie de preuve employée pour établir  l'existence de structures arithmétiques dans des sous-ensembles  denses d'entiers ainsi que dans les nombres premiers, et nous  exposons les nouveaux ingrédients spécifiques au cas de  configurations polynomiales.

In a celebrated theorem from 2004, Green and Tao showed that  there exist arbitrarily long arithmetic progressions in the primes.  A few years later Tao and Ziegler extended this result to establish  the existence of arbitrary polynomial progressions in the primes:  given polynomials $P_1, \dots, P_k \in {\mathbb Z}[m]$ such that $P_1(0)= \dots=P_k(0)=0$,  there exist infinitely many integers $x,m$ such that $x+P_1(m), \dots, x+P_k(m)$  are simultaneously prime. In this talk we outline the general strategy of  proof that allows one to make structural statements about dense subsets  of the integers and the primes, and detail the specific ingredients that  are necessary to deal with polynomial configurations.

Progression arithmétique, configuration polynomiale, norme d'uniformité, principe de transfert