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Exposé Bourbaki 1052 : Gravité quantique et relation KPZ d'après Duplantier-Sheffield

Exposé Bourbaki 1052 : Quantum gravity and the KPZ formula after Duplantier-Sheffield

Christophe GARBAN
Exposé Bourbaki 1052 : Gravité quantique et relation KPZ d'après Duplantier-Sheffield
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  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60C05, 60F17, 60-02, 05C10, 05C80, 82B20, 82B05, 82B27
  • Pages : 315-354

L'étude de modèles de mécanique statistique en dimension deux à  leur point critique est un problème en général très difficile. Dans les années 80, trois physiciens, Knizhnik, Polyakov et Zamolodchikov (KPZ) ont développé une approche originale pour comprendre la géométrie de ces modèles critiques. Parmi eux, on trouve entre autres la marche aléatoire, la percolation, le modèle d'Ising. L'idée sous-jacente est d'étudier ces modèles en deux temps de la façon suivante :
- Dans un premier temps, on étudie le modèle non pas sur un réseau régulier du plan (tel que $\mathbb{Z}^2$ par exemple), mais sur un "réseau aléatoire" planaire. Pour la percolation, le bon modèle aléatoire de réseau correspond aux "cartes planaires uniformes" étudiées notamment par Le Gall et Miermont. C'est ce qu'on appelle étudier le modèle du côté gravité quantique.
- On se ramène ensuite au cas euclidien via la célèbre  relation de KPZ qui donne une correspondance très précise entre les propriétés géométriques du côté gravité quantique et leurs analogues du côté euclidien.
La nature de cette correspondance est restée longtemps assez mystérieuse. Nous expliquerons en quoi les travaux de Duplantier et Sheffield permettent d'interpréter cette correspondance comme une uniformisation du réseau aléatoire vu comme une surface de Riemann.

 

The study of statistical physics models in two dimensions ($d=2$) at their critical point is in general a significantly hard problem (not to mention the $d=3$ case). In the eighties, three physicists, Knizhnik, Polyakov and Zamolodchikov (KPZ) came up with a novel and far-reaching approach in order to understand the critical behavior of these models. Among these, one finds for example random walks, percolation as well as the Ising model. The main underlying idea of their approach is to study these models along a two-step procedure as follows:
- First of all, instead of considering the model on some regular lattice of the plane (such as ${\mathbb Z}^2$ for example), one defines it instead on a well-chosen "random planar lattice''. Doing so corresponds to studying the model in its quantum gravity form. In the case of percolation, the appropriate choice of random lattice matches with the so-called planar maps which are currently the subject of an intense activity (for example the recent works by Le Gall and Miermont).

- Then it remains to get back to the actual Euclidean setup. This is done thanks to the celebrated KPZ formula which gives a very precise correspondence between the geometric properties of models in their quantum gravity formulation and their analogs in the Euclidean case.

The nature and the origin of such a powerful correspondence remained rather mysterious for a long time. In fact, the KPZ formula is still not rigorously established and remains a conjectural correspondence. The purpose of this survey is to explain how the recent work of Duplantier and Sheffield enables to explain some of the mystery hidden behind this KPZ formula. To summarize their contribution in one sentence, their work implies a beautiful  interpretation of the KPZ correspondence through a uniformization of the random lattice, seen as a Riemann surface.

KPZ formula, quantum gravity, planar maps, Brownian map, Gaussian free field, Liouville measures
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