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Exposé Bourbaki 1060 : Les exposants de Liapounoff du flot de Teichmüller d'après Eskin-Kontsevich-Zorich

Exposé Bourbaki 1060 : Lyapunov exponents of Teichmüller flow after Eskin-Kontsevich-Zorich

Julien GRIVAUX et Pascal HUBERT
Exposé Bourbaki 1060 : Les exposants de Liapounoff du flot de Teichmüller d'après Eskin-Kontsevich-Zorich
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  • Année : 2014
  • Tome : 361
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 30F30, 32G15, 32G20, 57M50
  • Pages : 41-72

On sait depuis les travaux de Zorich et Forni que les déviations moyennes ergodiques pour les flots linéaires sur les surfaces de translation sont gouvernées par les exposants de Liapounoff du cocycle de Kontsevich-Zorich. Kontsevich a donné une formule pour la somme des exposants (positifs) de ce cocycle en 1997 et a conjecturé la rationalité de cette somme. Eskin, Kontsevich et Zorich ont très récemment démontré que la somme des exposants de Liapounoff s'exprime en fonction de constantes de Siegel-Veech (mesure du nombre de cylindres sur une surface de translation). En combinant ce résultat avec des travaux antérieurs de Eskin-Masur-Zorich et Eskin-Okounkov, on obtient une réponse positive à la conjecture de Kontsevich.  Le but de mon exposé est de présenter le travail d'Eskin-Kontsevich-Zorich dont les méthodes sont tout aussi intéressantes et novatrices que le résultat.

We know from the work of Zorich and Forni that deviations of ergodic sums for linear flows on translation surfaces are governed by Lyapunov exponents of the Kontsevich-Zorich cocycle. Kontsevich gave a formula for the sum of (positive) Lyapunov exponents of this cocycle in 1997 and conjectured that this sum is a rational number. Eskin, Kontsevich and Zorich recently proved that the sum of Lyapunov exponents can be expressed in terms of Siegel-Veech constants (that measure the number of cylinders on a translation surface). Combining this result with earlier results by Eskin-Masur-Zorich and Eskin-Okounkov, this proves Kontsevich's conjecture. The goal of this talk is to present Eskin-Kontsevich-Zorich's
paper. Methods are just as interesting and innovative as the result.

Surfaces plates, flot géodésique de Teichmüller, exposants de Lyapunov, espace de modules de différentielles quadratiques, constantes de Siegel-Veech, variations de structure de Hodge, déterminant du laplacien
Flat surfaces, Teichmüller geodesic flow, Lyapunov exponents, moduli space of quadratic differentials, Siegel-Veech constants, variations of Hodge structure, Laplacian determinant

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