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Exposé Bourbaki 1062 : La conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques d'après Vincent Lafforgue

Exposé Bourbaki 1062 : The Baum-Connes conjecture with coefficients for word-hyperbolic groups after Vincent Lafforgue

Michael PUSCHNIGG
Exposé Bourbaki 1062 : La conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques d'après Vincent Lafforgue
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  • Année : 2014
  • Tome : 361
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 19K35
  • Pages : 1-142

Dans une percée récente, Vincent Lafforgue a démontré la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour tous les groupes hyperboliques. Il obtient ainsi les premiers exemples connus de groupes de Kazhdan vérifiant cette conjecture. Sa preuve (de près de 200 pages) est élémentaire, mais d'une complexité impressionnante. Il fait un usage essentiel des représentations à faible croissance exponentielle des groupes. Ces représentations sont également le sujet du travail de Lafforgue sur les versions renforcées de la propriété (T) de Kazhdan. Ses résultats pour les groupes de rang supérieur et leurs réseaux ont des conséquences importantes en théorie des graphes et sur la rigidité des actions de ces groupes. Ils indiquent qu'il serait très difficile d'établir la conjecture de Baum-Connes pour des réseaux de rang supérieur avec les méthodes connues.

In a recent breakthrough, V. Lafforgue verified the Baum-Connes conjecture with coefficients for all word-hyperbolic groups. This provides the first examples of groups with Kazhdan's Property (T) satisfying the conjecture. His proof (of almost 200 pages) is completely elementary, but of impressive complexity. It makes essential use of group representations of weak exponential growth. These representations are also the topic of Lafforgue's work on strengthened versions of Property (T). His results about these properties for higher rank groups and lattices have interesting applications in graph theory and rigidity theory. They also indicate that it might be very difficult to establish the Baum-Connes conjecture for higher rank lattices with the approaches

KK-théorie, conjecture de Baum-Connes, groupe hyperbolique, propriété~(T)
KK-theory, Baum-Connes conjecture, hyperbolic group, Property (T)

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