Un flot de gradient dans $\mathbb{R}^n$ est une  solution d'une équation du type $x'(t)=-\nabla F(x(t))$,  c'est-à-dire une courbe de pente maximale pour une  fonction $F$. Une discrétisation variationnelle en temps  (Euler implicite) permet d'éviter d'utiliser le gradient et  de définir donc une notion de solution qui a un sens  pour des fonctions peu régulières sur des espaces  sans structure différentiable. La longue série de travaux  d'Ambrosio, Gigli et Savaré, que je tâcherai de présenter  brièvement, a traité au moins trois grandes questions~:  l'existence, l'unicité et les notions appropriées de solutions  dans des espaces métriques assez généraux ; le cas  de l'espace des mesures de probabilité avec la distance  induite par le transport optimal et ses applications aux EDP d'évolutions ; l'application de ces idées à l'analyse des espaces métriques mesurés et de leurs structures différentielles, dans laquelle je me concentrerai en particulier  sur ce qui a été fait autour de l'équation de la chaleur.