On étudie les équivalences sous-linéairement bilipschitziennes (SBE), qui généralisent les quasi-isométries, en autorisant un terme d'erreur sous-linéaire par rapport à la distance à l'origine. L'introduction de telles applications a été initialement motivée par le fait qu'elles induisent des homéomorphismes bilipschitziens au niveau des cônes asymptotiques. On démontre ici que pour les groupes hyperboliques, elles induisent également des homéomorphismes hölderiens entre leurs bords de Gromov. Ceci permet d'obtenir de nombreux exemples de groupes hyperboliques qui ne sont pas SBE entre eux. En outre, on vérifie qu'être à croissance sous-exponentielle est invariant par SBE.

La partie centrale de l'article concerne les groupes nilpotents. Leur classification à SBE près se déduit des travaux de Pansu des années 80, mais la version quantitative reste à étudier. On introduit un invariant algébrique calculable $e=e_G<1$ pour les groupes nilpotents $G$ et on vérifie que $G$ est toujours $O(r^e)$-SBE à son groupe Carnot-gradué associé: la fonction $r\mapsto r^e$ est une borne sous-linéaire quantitative.

Enfin, on introduit les notions d'espaces métriques contractables à grande échelle, et homothétique à grande échelle. On vérifie, sous des hypothèses très générales, qu'elles impliquent être à croissance polynomiale, et on formule des conjectures sur les groupes ayant ces propriétés.