Dans cet article nous étendons l'isomorphisme de Riemann-Roch fonctoriel pour les fibrés en droites holomorphes Hermitiens, dû à Deligne, au cas des fibrés plats non nécessairement unitaires. La métrique de Quillen et le produit $\star$ de Gillet-Soulé sont remplacés par des logarithmes à valeurs complexes. Sur le déterminant de la cohomologie, nous montrons que la torsion de Cappell-Miller  est l'analogue approprié de la métrique de Quillen. Sur les accouplements de Deligne, les logarithmes raffinent les connexions d'intersection introduites dans un travail précédent. La construction conduit naturellement à une théorie d'Arakelov pour les fibrés plats sur les surfaces arithmétiques, et produit des nombres d'intersection arithmétique à valeurs dans $\mathbb C/\pi i\mathbb Z$. Dans ce contexte, nous démontrons une formule de Riemann-Roch arithmétique. On réalise ainsi un programme proposé par Cappell-Miller visant à montrer que leur torsion holomorphe possède des propriétés analogues à celles de la métrique de Quillen établies par Bismut, Gillet et Soulé. Finalement, nous donnons des exemples qui clarifient le type d'invariants que ce formalisme encode: des périodes de formes différentielles.