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Interaction et pertinence du désordre pour le champ libre gaussien sur un réseau II : le cas bi-dimensionnel

Pinning and disorder relevance for the lattice Gaussian Free Field II: The two dimensional case

Hubert LACOIN
Interaction et pertinence du désordre pour le champ libre gaussien sur un réseau II : le cas bi-dimensionnel
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 6
  • Tome : 52
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60K35, 60K37, 82B27, 82B44
  • Pages : 1331-1401
  • DOI : 10.24033/asens.2411

Cet article approfondit l'étude de la transition de localisation pour un champ libre gaussien défini sur le réseau  $\mathbb Z^d$ en interaction avec un substrat désordonné qui affecte les points situés proches de la hauteur zéro. Le substrat peut avoir un effet attracteur ou répulsif selon le site considéré. Une transition a lieu lorsque le potentiel moyen d'interaction $h$ dépasse un certain seuil $h_c$: cette valeur critique définit une phase délocalisée $h<h_c$, au sein de laquelle le champ est globalement repoussé par le substrat, et une phase localisée $h>h_c$ ou le champ adhère au substrat. Notre objectif est d'évaluer les effets de la présence de désordre pour cette transition de phase. Nous nous concentrons sur le cas bi-dimensionnel $(d=2)$, et démontrons que la valeur du point critique $h_c(\beta)$ coincide avec celle du modèle moyenné (ou annealed), et ce quelle que soit la valeur de l'intensité du désordre $\beta$. De plus, nous démontrons que, contrairement au cas $d\ge 3$ pour lequel l'énergie libre a un comportement quadratique au voisinage du point critique,  
la transition de phase est ici d'ordre infini
$$\lim_{u\to 0+} \frac{ \log \text F(\beta,h_c(\beta)+u)}{(\log u)}= \infty.$$
Un résultat analogue est exposé pour le modèle de co-membrane bi-dimensionnelle.

This paper continues a study  on the localization transition of a lattice free field on $\mathbb bZ^d$ interacting with a quenched disordered substrate that acts on the interface when its height is close to zero. The substrate has the tendency to localize or repel the interface at different sites. A transition takes place when the average pinning potential $h$ goes past a threshold $h_c$: this critical value separates a delocalized phase $h<h_c$, where the field is macroscopically repelled by the substrate from a localized one $h>h_c$ where the field sticks to the substrate. Our goal is to investigate the effect of the presence of disorder on this phase transition. We focus on the two dimensional case $(d=2)$ for which we had obtained so far only limited results. We prove that the value of $h_c(\beta)$ is the same as for the annealed model, for all values of the disorder intensity $\beta$. Moreover we prove that, in contrast with the case $d\ge 3$ where the free energy has a quadratic behavior near the critical point, the phase transition is of infinite order
$$\lim_{u\to 0+} \frac{ \log \text F(\beta,h_c(\beta)+u)}{(\log u)}= \infty.$$
An analogous result is presented for the two dimensional co-membrane model.

Champs libre gaussien sur un réseau, modèle d'accrochage désordonné, transition de localisation, comportement critique, pertinence du désordre, modèle de co-membrane
Lattice Gaussian free field, disordered pinning model, localization transition, critical behavior, disorder relevance, co-membrane model
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