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Géométrie asymptotique des variétés de volume fini à courbure négative

Asymptotic geometry of negatively curved manifolds of finite volume

Françoise DAL’BO, Marc PEIGNÉ, Jean-Claude PICAUD, Andrea SAMBUSETTI
Géométrie asymptotique des variétés de volume fini à courbure négative
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 6
  • Tome : 52
  • Format : Électronique
  • Class. Math. : 53C20, 37C35
  • Pages : 1459-1485
  • DOI : 10.24033/asens.2413

Nous décrivons le comportement asymptotique de variétés Riemanniennes simplement connexes  $X$ à courbure strictement négative, dont le groupe d'isométries contient des sous-groupes discrets $ \Gamma$ de co-volume fini. Plus précisément, nous montrons que  lorsque la courbure est  asymptotiquement 1/4-pincée, le groupe $\Gamma$ est alors divergent et la mesure de Bowen-Margulis associée est finie; de plus, le volume des boules $B(x, R)$ de $X$ est asymptotiquement équivalent à la fonction $c(x) e^{\delta R}$, où $\delta$ désigne l'exposant de Poincaré de $\Gamma$.  Ce résultat généralise le célèbre théorème de Margulis  au cas des réseaux non-uniformes. Nous  construisons aussi toute une série d'exemples de variétés $X$ à courbure strictement négative mais non asymptotiquement 1/4-pincée, pour lesquels le volume des boules $B(x, R)$ de $X$ ne croît pas  toujours de façon purement exponentielle.

 

We study the asymptotic behavior of simply connected Riemannian manifolds~$X$ of strictly negative curvature admitting a non-uniform lattice $\Gamma$. If the quotient manifold ${\bar X= \Gamma \backslash X}$ is  asymptotically $1/4$\-pinched, we prove that  $\Gamma$  is divergent and $U\bar X$ has finite Bowen-Margulis measure (which is then ergodic and totally conservative with respect to the geodesic flow); moreover, we show  that, in this case,  the volume growth of balls $B(x,R)$ in $X$is asymptotically equivalent to a purely exponential function $c(x)e^{\delta R}$, where $\delta$ is the topological entropy of the geodesic flow of $\bar X$.   This generalizes Margulis' celebrated theorem to negatively curved spaces of finite volume. In contrast,  we exhibit examples  of lattices $\Gamma$ in negatively curved spaces $X$ (not asymptotically $1/4$-pinched)    where, depending on the critical exponent of the parabolic subgroups   and on the finiteness of the Bowen-Margulis measure, the growth function is exponential, lower-exponential or even upper-exponential.

 

Cartan-Hadamard manifold, volume, entropy, Bowen-Margulis measure
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