Nous décrivons les $K$-groupes $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$ modulo $p^r$ d'une $ F_p$-algèbre régulière locale $A$ modulo les puissances d'un idéal approprié $I$ en termes des groupes de Hodge-Witt logarithmique, en démontrant des analogues pro des théorèmes de Geisser-Levine et Bloch-Kato-Gabber. Ceci est accompli en utilisant le théorème d'Hochschild-Kostant-Rosenberg pro en homologie cyclique topologique et le développement de la théorie des complexes de de Rham-Witt et de Hodge-Witt logarithmique sur les $ F_p$-schémas formels.

Des applications incluent les suivants : la partie infinitésimale de la conjecture de Lefschetz faible pour les groupes de Chow ; une version $p$-adique de la conjecture de Kato-Saito que leurs groupes des classes de dimension supérieure Zariski et Nisnevich sont isomorphes ; des résultats de continuité en $K$-théorie ; et des conditions, en termes des classes de cycles motiviques étales entières ou torsions, pour que les cycles algébriques sur un schéma formel admettent des déformations infinitésimales.

De plus, dans le cas où $n=1$ nous comparons la cohomologie étale de $W_r\Omega^1_\text{log}$ et la cohomologie fppf de $\mu_{p^r}$ sur un schéma formel, et ainsi présentons des conditions équivalentes pour que les fibres en droites déforment en termes de leurs classes dans chacune de ces cohomologies.