Sur les équivalences sous-linéairement bilipschitziennes des groupes
On sublinear bilipschitz equivalence of groups
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- Année : 2019
- Fascicule : 5
- Tome : 52
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 17B30; 17B70, 20F18, 20F67, 20F69, 22E25, 22E40
- Pages : 1201-1242
- DOI : 10.24033/asens.2407
On étudie les équivalences sous-linéairement bilipschitziennes (SBE), qui généralisent les quasi-isométries, en autorisant un terme d'erreur sous-linéaire par rapport à la distance à l'origine. L'introduction de telles applications a été initialement motivée par le fait qu'elles induisent des homéo-morphismes bilipschitziens au niveau des cônes asymptotiques. On démontre ici que pour les groupes hyperboliques, elles induisent également des homéo-morphismes hölderiens entre leurs bords de Gromov. Ceci permet d'obtenir de nombreux exemples de groupes hyperboliques qui ne sont pas SBE entre eux. En outre, on vérifie qu'être à croissance sous-exponentielle est invariant par SBE.
La partie centrale de l'article concerne les groupes nilpotents. Leur classification à SBE près se déduit des travaux de Pansu des années 80, mais la version quantitative reste à étudier. On introduit un invariant algébrique calculable $e=e_G<1$ pour les groupes nilpotents $G$ et on vérifie que $G$ est toujours $O(r^e)$-SBE à son groupe Carnot-gradué associé: la fonction $r\mapsto r^e$ est une borne sous-linéaire quantitative.
Enfin, on introduit les notions d'espaces métriques contractables à grande échelle, et homothétique à grande échelle. On vérifie, sous des hypothèses très générales, qu'elles impliquent être à croissance polynomiale, et on formule des conjectures sur les groupes ayant ces propriétés.