Nous prouvons que tout groupe de type fini minimax et virtuellement résoluble peut être exprimé comme l'image homomorphe d'un groupe minimax virtuellement résoluble et virtuellement sans torsion. Ce résultat permet de généraliser un théorème de Ch. Pittet et L. Saloff-Coste concernant les marches aléatoires sur les groupes de type fini minimax et virtuellement résolubles. En outre, l'article identifie des propriétés conservées dans le processus de couverture, telles que la classe de résolubilité et la classe de nilpotence du sous-groupe de Fitting. Enfin, nous déterminons exactement quels groupes de type infini minimax et virtuellement résolubles admettent également ce type de couverture.