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Inégalités de Cheeger d'ordre supérieur pour les valeurs propres de Steklov

Higher order Cheeger inequalities for Steklov eigenvalues

Asma HASSANNEZHAD & Laurent MICLO
Inégalités de Cheeger d'ordre supérieur pour les valeurs propres de Steklov
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 1
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 5A18, 35P15, 58J50, 58J65, 60J25, 60J27, 60J60, 60J75
  • Pages : 43-88
  • DOI : 10.24033/asens.2417

Pour tout $k\in\mathbb{N}$, une borne inférieure pour la $k$-ième valeur propre de  Steklov en termes d'une constante isopérimétrique, appelée la  $k$-ième constante  de Cheeger-Steklov, est obtenue dans trois situations différentes: espaces finis, espaces mesurables et variétés riemanniennes. Ces bornes inférieures peuvent être considérées comme des inégalités de type Cheeger d'ordre supérieur pour les valeurs propres de Steklov. En particulier, elles étendent l'inégalité de type Cheeger pour la première valeur propre  non nulle de Steklov étudiée par Escobar en 1997 et par Jammes en 2015.
La technique  développée pour obtenir ces bornes inférieures utilise une famille d'opérateurs de Markov accélérés dans les situations finies et mesurables et une famille d'opérateurs de Laplace-Beltrami déformés et concentrés près de la frontière.  
Lors d'une étape intermédiaire de la preuve de l'inégalité de type Cheeger d'ordre supérieur, nous définissons le spectre de connectivité de Dirichlet-Steklov et nous montrons que les spectres de connectivité de Dirichlet de cette famille d'opérateurs convergent uniformément vers (ou sont bornés par) le spectre de Dirichlet-Steklov. De plus, nous obtenons des bornes pour les valeurs propres de Steklov en termes du spectre de connectivité de Dirichlet-Steklov, ce dernier étant intéressant en lui-même. Il est aussi plus robuste que les inégalités de type Cheeger d'ordre supérieur. Le spectre de Dirichlet-Steklov et les constantes de Cheeger-Steklov sont étroitement liés.

We prove a lower bound for the $k$-th Steklov eigenvalues in terms of an isoperimetric constant called the $k$-th Cheeger-Steklov constant in three different situations:  finite spaces,  measurable spaces, and Riemannian manifolds. These lower bounds can be considered as  higher order Cheeger type inequalities for the Steklov eigenvalues. In particular it extends the Cheeger type inequality for the first nonzero Steklov eigenvalue previously studied by Escobar in 1997 and by Jammes in 2015 to higher order Steklov eigenvalues.
The technique we develop to get this lower bound is based on considering a family of accelerated Markov operators in the finite and measurable situations and of mass concentration deformations of the Laplace-Beltrami operator in the manifold setting which converges uniformly to  the Steklov operator.  As  an intermediary step in the proof of the higher order Cheeger type inequality, we define  the Dirichlet-Steklov connectivity spectrum  and show that  the  Dirichlet connectivity spectra of this family of operators converges to (or is bounded by)  the Dirichlet-Steklov spectrum uniformly.   Moreover, we obtain bounds for the Steklov eigenvalues in terms of its Dirichlet-Steklov connectivity spectrum which is interesting in its own right and is more robust than the higher order Cheeger type inequalities.   The Dirichlet-Steklov spectrum  is closely related to the Cheeger-Steklov constants.

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Dirichlet-to-Neumann operator, Steklov problem, eigenvalues, isoperimetric ratios, higher order Cheeger inequalities, finite Markov processes, jump Markov processes, Brownian motion on Riemannian manifolds, Laplace-Beltrami operator
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