SMF

Paramétrisations uniformes d'ensembles sous-analytiques et applications diophantiennes

Uniform parameterization of subanalytic sets and diophantine applications

Raf CLUCKERS, Jonathan PILA & Alex WILKIE
Paramétrisations uniformes d'ensembles sous-analytiques et applications diophantiennes
  • Consulter un extrait
  • Année : 2020
  • Fascicule : 1
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 03C64, 11D45, 11G50
  • Pages : 1-42
  • DOI : 10.24033/asens.2416

Nous démontrons de nouveaux résultats de paramétrisations d'ensembles définissables dans $R_{\rm an}$ (aussi appelés ensembles sous-analytiques globaux), uniformément dans les familles définissables. Nous traitons les paramétrisations $C^r$ ainsi que les paramétrisations douces et analytiques.  Dans le cas $C^r$, nous obtenons une borne polynômiale (en $r$, et dépendant seulement de la famille) pour le nombre de fonctions paramétrisantes. Dans le cas de paramétrisations analytiques, comme l'uniformité est impossible (démontré par Yomdin pour une famille semi-algébrique très simple), nous introduisons une nouvelle notion de paramétrisations quasi-analytiques (utilisant les fonctions analytiques complex multi-valuées), ce qui nous permet d'obtenir des résultats uniformes.
Ensuite nous donnons des applications diophantiennes motivées par la question de savoir si la borne $H^{o(1)}$ dans le théorème de comptage de Pila-Wilkie  peut être améliorée pour certaines réductions de la structure $R_{\rm an}$.
Nos deux approches de paramétrisations nous permettent d'obtenir des bornes uniformes de grandeur $(\log H)^{O(1)}$ pour le nombre de points rationels de hauteur au maximum $H$ sur les surfaces pfaffiennes qui sont $R_{\rm an}$-définissables. Les paramétrisations quasi-analytiques nous donnent des résultats plus fins, mais les paramétrisations $C^r$ ont l'avantage de fonctionner aussi dans le cadre plus général de familles   $R_{\rm an}^{\rm pow}$-définissables.

We prove new parameterization theorems for sets definable in the structure $R_{\rm an}$ (i.e., for globally subanalytic sets) which are uniform for definable families of such sets. We treat both $C^r$-parameterization and (mild) analytic parameterization.
In the former case we establish a polynomial (in $r$) bound (depending only on the given family) for the number of parameterizing functions. However, since uniformity is impossible in the latter case (as was shown by Yomdin via a very simple family of algebraic sets), we introduce a new notion, analytic quasi-parameterization (where many-valued complex analytic functions are used), which allows us to recover a uniform result.

We then give some diophantine applications motivated by the question as to whether the $H^{o(1)}$ bound in the Pila-Wilkie counting theorem can be improved, at least for certain reducts of $R_{\rm an}$. Both parameterization results are shown to give uniform $(\log H)^{O(1)}$ bounds for the number of rational points of height at most $H$ on$R_{\rm an}$-definable Pfaffian surfaces. The quasi-parameterization technique produces the sharper result, but the uniform $C^r$-parameterization theorem has the advantage of also applying to$R_{\rm an}^{\rm pow}$-definable families.

Points rationels de hauteur bornée, paramétrisations quasi-analytiques, paramétrisations $C^r$, pré-paramétrisations, ensembles sous-analytiques, fonctions pfaffiennes restreintes, fonctions faiblement douces, fonctions a-b-m, fonctions de Gevrey, entropie, théorie des systèmes dynamiques, préparation de Weierstrass
Rational points of bounded height, $C^r$-parameterizations, quasi-parameterizations, pre-parameterizations, subanalytic sets, restricted Pfaffian functions, weakly mild functions, a-b-m functions, Gevrey functions, power maps, entropy, dynamical system theory, Weierstrass preparation.
Prix
Adhérent 14 €
Non-Adhérent 20 €
Quantité
- +