On obtient des formules asymptotiques pour les $2k$-ièmes moments de quelques sommes partiellement lissées de la fonction de Möbius sur les diviseurs d'un entier. Quand $2k$ est petit en comparaison avec $A$, qui est le niveau de lissage, alors la contribution principale aux moments provient des entiers n'ayant que de grands facteurs premiers, comme on l'espérait pour un poids de crible. Cependant, si $2k$ est plus grand en comparaison avec $A$, alors la contribution principale aux moments provient des entiers ayant beaucoup de facteurs premiers, ce qui n'est pas l'intention quand on crée des poids de crible. La valeur seuil pour "petit" est $A=\frac 1{2k} \binom{2k}{k}-1$.
        On peut aussi poser des questions analogues pour les polynômes sur des corps finis et pour les permutations, et dans ces cas les moments se comportent de façon assez différente, avec moins d'annulations dans les sommes de diviseurs. On donne, on espère, une explication plausible pour ce phénomène, en étudiant les sommes analogues pour les caractères de Dirichlet, et en obtenant chaque type de comportement selon le caractère  "exceptionnel" ou non.