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Catégories triangulées des motifs logarithmiques sur un corps

Triangulated categories of logarithmic motives over a field

Federico BINDA, Doosung PARK, Paul Arne OSTVAER
Catégories triangulées des motifs logarithmiques sur un corps
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  • Année : 2022
  • Tome : 433
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14A21, 14A30, 14F42, 18N40, 18N55; 18F10, 18G35, 19E15
  • Nb. de pages : 280
  • ISBN : 978-2-85629-957-9
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1172

Ce texte a comme objectif la construction et l'étude  d'une théorie des motifs mixtes pour les schémas logarithmiques sur un corps au sens de Fontaine, Illusie et Kato.  Notre construction repose sur la notion de correspondance logarithmique finie, la topologie dividing-Nisnevich sur les schémas logarithmiques, et l'idée de paramétrer les homotopies par $\overline{\square}$, c'est-à-dire la droite projective avec sa structure logarithmique standard à l'infini. On montre que la cohomologie de Hodge des schémas logarithmiques est une théorie $\overline{\square}$-invariante et  représentable dans la catégorie des motifs logarithmiques.  La catégorie des motifs mixtes de Voevodsky avec transferts se plonge de fa\c{c}on naturelle (en supposant la résolution des singularités sur le corps de base) dans notre catégorie,  et nous l'identifions avec  sa sous-catégorie pleine donnée par les objects $\mathbb{A}^{1 }$-locaux. Nous démontrons aussi des propriétés fondamentales comme des analogues du triangle de Gysin et d'éclatement,  une formule du fibré projectif et un théorème d'isomorphisme de Thom

In this work we develop a theory of motives for logarithmic schemes over fields in the sense of Fontaine, Illusie, and Kato. Our construction is based on the notion of finite log correspondences, the dividing Nisnevich topology on log schemes, and the basic idea of parameterizing homotopies by $\overline{\square}$, i.e. the projective line with respect to its compactifying logarithmic structure at infinity.  We show that Hodge cohomology of log schemes is a  $\overline{\square}$-invariant theory that is representable in the category of logarithmic motives. Our category is closely related to Voevodsky's category of motives and $\mathbb{A}^{1}$-invariant theories: assuming resolution of singularities, we identify the latter with the full subcategory comprised of $\mathbb{A}^{1}$-local objects in the category of logarithmic motives. Fundamental properties such as $\overline{\square}$-homotopy invariance, Mayer-Vietoris for coverings, the analogs of the Gysin sequence and the Thom space isomorphism as well as a blow-up formula and a projective bundle formula witness the robustness of the setup.

Motifs triangulés, los schémas, théorie cohomologique non $\mathbb{A}^{1 }$-invariant, cohomologie de Hodge
Triangulated Motives, Logarithmic Schemes, Non $\mathbb{A}^1$-invariant Cohomology Theories, Hodge Cohomology

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