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La propriété dynamique géométrique de Northcott pour les automorphismes polynomiaux réguliers du plan affine

The geometric dynamical Northcott property for regular polynomial automorphisms of the affine plane

Thomas GAUTHIER, Gabriel VIGNY
La propriété dynamique géométrique de Northcott pour les automorphismes polynomiaux réguliers du plan affine
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 4
  • Tome : 150
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37P15, 37P30, 37F45
  • Pages : 677-698
  • DOI : 10.24033/bsmf.2858

Nous établissons la finitude des points périodiques, ce que nous appelons la propriété dynamique géométrique de Northcott pour les automorphismes polynomiaux réguliers du plan affine sur un corps de fonctions $\mathbf{K}$ de caractéristique zéro, améliorant des résultats d'Ingram.

Pour cela, nous montrons que quand $\mathbf{K}$ est le corps des fonctions rationnelles sur une courbe projective lisse, la hauteur canonique d'une sous-variété est la masse du courant de bifurcation approprié et qu'un point marqué est stable si et seulement si sa hauteur canonique est zéro. Nous établissons alors la propriété dynamique géométrique de Northcott en utilisant un argument de similarité.

We establish the finiteness of periodic points, which we call the geometric dynamical Northcott property, for regular polynomials' automorphisms of the affine plane over a function field $\mathbf{K}$ of characteristic zero, improving results of Ingram.

To this end, we show that when $\mathbf{K}$ is the field of rational functions of a smooth complex projective curve, the canonical height of a subvariety is the mass of an appropriate bifurcation current and that a marked point is stable if and only if its canonical height is zero. We then establish the geometric dynamical Northcott property using a similarity argument.

Automorphismes polynomiaux réguliers du plan, hauteur canonique, famille algébrique d'applications rationnelles, caractérisations arithmétiques de la stabilité
Regular plane polynomial automorphisms, canonical height, algebraic family of rational maps, arithmetic characterizations of stability

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