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Sur la finitude des fractions continues $\mathfrak{P}$-adiques pour les corps de nombres

On the finiteness of $\mathfrak{P}$-adic continued fractions for number fields

Laura CAPUANO, Nadir MURRU, Lea TERRACINI
Sur la finitude des fractions continues $\mathfrak{P}$-adiques pour les corps de nombres
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 4
  • Tome : 150
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11J70, 11D88, 11Y65, 11J72
  • Pages : 743-772
  • DOI : 10.24033/bsmf.2860

Soit $\mathfrak{P}$ un idéal premier de l'anneau des entiers d'un corps de nombres $K$. On donne une définition générale de fraction continue  $\mathfrak{P}$-adique qui inclut les définitions classiques de fractions continues $p$-adiques. On présente des conditions nécessaires et suffisantes sur $K$ qui assurent que pour  tous idéaux  $\mathfrak{P}$ sauf un nombre fini, chaque élément   $\alpha\in K$ ait une expansion finie en fraction continue  $\mathfrak{P}$ -adique. Ces résultats abordent dans le contexte $p$-adique un problème  qui avait été posé par Rosen dans le cas archimédien.

For a prime ideal $\mathfrak{P}$ of the ring of integers of a number field $K$, we give a general definition of a $\mathfrak{P}$-adic continued fraction, which also includes classical definitions of continued fractions in the field of $p$-adic numbers. We give some necessary and sufficient conditions on $K$ ensuring that for all but finitely many $\mathfrak{P}$, every $\alpha\in K$ admits a finite $\mathfrak{P}$-adic continued fraction expansion,  addressing a similar problem posed by Rosen in the archimedean setting.

Fractions continues $p$-adiques, finitude, hauteur de Weil, corps euclidiens pour la norme, classes euclidiennes
$p$-adic continued fractions, finiteness, Weil height, norm-Euclidean fields, norm-Euclidean class

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