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Exposé Bourbaki 1181 : Groupes de surface dans les réseaux des groupes de Lie semi-simples d'après J. Kahn, V. Marković, U. Hamenstädt, F. Labourie et S. Mozes

Exposé Bourbaki 1181 : Surface groups in lattices of semisimple Lie groups (after J. Kahn, V. Marković, U. Hamenstädt, F. Labourie, and S. Mozes)

Fanny KASSEL
Exposé Bourbaki 1181 : Groupes de surface dans les réseaux des groupes de Lie semi-simples d'après J. Kahn, V. Marković, U. Hamenstädt, F. Labourie et S. Mozes
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  • Année : 2022
  • Tome : 438
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20E07, 20H10, 22E40; 14M15, 28C10, 37A25
  • Pages : 1-72
  • DOI : 10.24033/ast.1182

Un réseau cocompact d’un groupe de Lie semi-simple $G$ est un sous-groupe discret $\Gamma$ tel que le quotient $G/\Gamma$ soit compact. Un tel réseau contient-il toujours un sous-groupe de surface, à savoir un sous-groupe isomorphe au groupe fondamental d’une surface hyperbolique compacte ? Si oui, contient-il des sous-groupes de surface qui soient proches (dans un sens quantitatif précis) de sous-groupes fuchsiens de~$G$, c’est-à-dire de sous-groupes discrets de~$G$ contenus dans une copie de $\operatorname{(P)SL}(2,\mathbf{R})$ dans $G$ ?

Le cas $G=\operatorname{PSL}(2,\mathbf{C})$ correspond à une fameuse conjecture de Thurston sur les variétés hyperboliques de dimension~$3$, et la version quantitative du cas $G=\operatorname{PSL}(2,\mathbf{R}) \times \operatorname{PSL}(2,\mathbf{R})$ implique une conjecture d’Ehrenpreis sur les paires de surfaces hyperboliques compactes ; ces deux conjectures ont été démontrées par Kahn et Marković il y a une dizaine d’années. Motivée par une question de Gromov, Hamenstädt a résolu le cas où $G$ est de rang réel un à l’exception de $G=\operatorname{SO}(2n,1)$. Dans une prépublication récente, Kahn, Labourie et Mozes traitent le cas d’une large classe de groupes semi-simples~$G$, incluant notamment tous les groupes de Lie simples complexes ; les groupes de surface qu’ils obtiennent sont des images de représentations anosoviennes au sens de Labourie. Nous donnerons quelques idées de leur démonstration.

A cocompact lattice in a semisimple Lie group $G$ is a discrete subgroup~$\Gamma$ such that the quotient $G/\Gamma$ is compact. Does such a lattice always contain a surface group, i.e.\ a subgroup isomorphic to the fundamental group of a compact hyperbolic surface? If so, does it contain surface subgroups close (in a precise quantitative sense) to Fuchsian subgroups of $G$, i.e.\ to discrete subgroups of $G$ contained in a copy of $\operatorname{(P)SL}(2,\mathbf{R})$ in $G$?

The case $G=\operatorname{PSL}(2,\mathbf{C})$ corresponds to a famous conjecture of Thurston on $3$-dimensional hyperbolic manifolds, and the quantitative version of the case $G=\operatorname{PSL}(2,\mathbf{R}) \times \operatorname{PSL}(2,\mathbf{R})$ implies a conjecture of Ehrenpreis on pairs of compact hyperbolic surfaces; these two conjectures were proved by Kahn and Marković around ten years ago. Motivated by a question of Gromov, Hamenstädt solved the conjecture in the case that $G$ has real rank one, except for $G=\operatorname{SO}(2n,1)$. In a recent preprint, Kahn, Labourie, and Mozes treat the case of a large class of semisimple Lie groups, including in particular all complex simple Lie groups; the surface groups they obtain are images of representations that are Anosov in the sense of Labourie. We will present some of the ideas of their proof.

Réseaux des groupes de Lie semi-simples, groupes de surface, représentations anosoviennes, représentations quasi-fuchsiennes
Lattices in semisimple Lie groups, surface groups, Anosov representations, quasi-Fuchsian representations

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