Exposé Bourbaki 1181 : Groupes de surface dans les réseaux des groupes de Lie semi-simples d'après J. Kahn, V. Marković, U. Hamenstädt, F. Labourie et S. Mozes
Exposé Bourbaki 1181 : Surface groups in lattices of semisimple Lie groups (after J. Kahn, V. Marković, U. Hamenstädt, F. Labourie, and S. Mozes)

- Consulter un extrait
- Année : 2022
- Tome : 438
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Français - Class. Math. : 20E07, 20H10, 22E40; 14M15, 28C10, 37A25
- Pages : 1-72
- DOI : 10.24033/ast.1182
Un réseau cocompact d’un groupe de Lie semi-simple G est un sous-groupe discret Γ tel que le quotient G/Γ soit compact. Un tel réseau contient-il toujours un sous-groupe de surface, à savoir un sous-groupe isomorphe au groupe fondamental d’une surface hyperbolique compacte ? Si oui, contient-il des sous-groupes de surface qui soient proches (dans un sens quantitatif précis) de sous-groupes fuchsiens de~G, c’est-à-dire de sous-groupes discrets de~G contenus dans une copie de (P)SL(2,R) dans G ?
Le cas G=PSL(2,C) correspond à une fameuse conjecture de Thurston sur les variétés hyperboliques de dimension~3, et la version quantitative du cas G=PSL(2,R)×PSL(2,R) implique une conjecture d’Ehrenpreis sur les paires de surfaces hyperboliques compactes ; ces deux conjectures ont été démontrées par Kahn et Marković il y a une dizaine d’années. Motivée par une question de Gromov, Hamenstädt a résolu le cas où G est de rang réel un à l’exception de G=SO(2n,1). Dans une prépublication récente, Kahn, Labourie et Mozes traitent le cas d’une large classe de groupes semi-simples~G, incluant notamment tous les groupes de Lie simples complexes ; les groupes de surface qu’ils obtiennent sont des images de représentations anosoviennes au sens de Labourie. Nous donnerons quelques idées de leur démonstration.