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Exposé Bourbaki 1183 : Flot de Ricci et difféomorphismes de variétés de dimension $3$ (d'après R. Bamler et B. Kleiner)

Exposé Bourbaki 1183 : Ricci flow and diffeomorphisms of $3$-manifolds (after R. Bamler and B. Kleiner)

Sylvain MAILLOT
Exposé Bourbaki 1183 : Flot de Ricci et difféomorphismes de variétés de dimension $3$ (d'après R. Bamler et B. Kleiner)
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  • Année : 2022
  • Tome : 438
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C21, 53E20, 57S05
  • Pages : 121-131
  • DOI : 10.24033/ast.1184

R. Bamler et B. Kleiner démontrent que si $M$ est une variété de dimension $3$ compacte admettant une métrique riemannienne à courbure constante strictement positive, alors l'injection canonique du groupe d'isométries de cette métrique dans le groupe de difféomorphismes de $M$ est une équivalence d'homotopie. Leur méthode est basée sur la notion de flot de Ricci singulier développée par B. Kleiner et J. Lott, et donne une nouvelle preuve de la conjecture de Smale, démontrée par Hatcher en 1983, dans le cas de $S^3$. Elle permet également de prouver que l'espace des métriques à courbure scalaire strictement positive sur une variété de dimension $3$ compacte est vide ou contractile, ce qui améliore un résultat obtenu par F. Coda Marques en 2012.

R. Bamler and B. Kleiner show that if a compact $3$-manifold~$M$ admits a Riemannian metric of constant positive curvature, then the inclusion map from the group of isometries for this metric to the group of diffeomorphisms of $M$ is a homotopy equivalence. Their method is based on the notion of singular Ricci flow developed by B. Kleiner and J. Lott, and gives a new proof of the Smale conjecture, proved by Hatcher in 1983, in the case of $S^3$. It permits also to prove that the space of metrics with positive scalar curvature on a compact $3$-manifold is either empty or contractible, improving a result of F. Coda Marques in 2012.

Conjecture de Smale généralisée, flot de Ricci, variétés de dimension 3
Generalized Smale conjecture, Ricci flow, 3-manifold

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