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Exposé Bourbaki 1182 : Non-densité des points entiers et variations de structures de Hodge (d’après B. Lawrence, W. Sawin et A. Venkatesh)

Exposé Bourbaki 1182 : Nondensity of integral points and variations of Hodge structures (according to B. Lawrence, W. Sawin et A. Venkatesh)

Marco MACULAN
Exposé Bourbaki 1182 : Non-densité des points entiers et variations de structures de Hodge (d’après B. Lawrence, W. Sawin et A. Venkatesh)
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  • Année : 2022
  • Tome : 438
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11G30, 11G10, 12H25, 14D05
  • Pages : 73-119
  • DOI : 10.24033/ast.1183

Au début des années 80, Faltings a montré que toute courbe projective non singulière de genre au moins $2$ définie sur un corps de nombres $K$ n’admet qu’un nombre fini de points à coordonnées dans $K$ un énoncé conjecturé auparavant par Mordell. Récemment, Lawrence et Venkatesh ont découvert une nouvelle méthode pour prouver que les points entiers d’une variété algébrique définie sur un corps de nombres ne sont pas denses pour la topologie de Zariski. Appliquée aux courbes, cette technique fournit une nouvelle démonstration de la conjecture de Mordell ; appliquée aux variétés paramétrant les hypersurfaces non singulières de l’espace projectif (Lawrence-Venkatesh) ou d’une variété abélienne (Lawrence-Sawin), elle conduit à des résultats de finitude inaccessibles par les méthodes précédentes.

In the early eighties, Faltings proved that every nonsingular projective curve of genus at least $2$, defined over a number field $K$ has only finitely many points with coordinates in $K$ a statement often referred to as 'Mordell's conjecture'. Recently, Lawrence and Venkatesh have come up with a new method to show nondensity (for the Zariski topology) of integral points of an algebraic variety defined over a number field. Applied to curves, this technique leads to a new proof of Mordell's conjecture; applied to varieties parameterizing nonsingular hypersurfaces of the projective space (Lawrence-Venkatesh) or of an abelian variety (Lawrence-Sawin), it yields finiteness results out of scope of the previous methods.

Conjecture de Mordell, conjecture de Lang-Vojta, application de périodes, connexion de Gauss-Manin, équations diophantiennes
Mordell conjecture, Lang-Vojta conjecture, period mapping, Gauss-Manin connection, diophantine equations

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