Nous introduisons la notion de cône catégorique, qui fournit une catégorification du cône classique au-dessus d'une variété projective, et nous utilisons notre travail sur les joints catégoriques pour prouver que le dual projectif homologique d'un cône catégorique est équivalent au cône catégorique de la catégorie duale projective homologique. Nous vérifions que la construction du cône catégorique fournit des résolutions catégoriques qui se comportent bien de quadriques singulières, que nous utilisons pour obtenir une version quadratique explicite du théorème principal de la dualité projective homologique. Comme applications, nous prouvons la conjecture de dualité pour les variétés de Gushel-Mukai, et produisons des exemples intéressants de transitions conifoldes entre des variétés de Calabi-Yau noncommutatives et de vraies variétés de Calabi-Yau de dimension trois.