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Groupes de Bloch, $K$-théorie algébrique, unités et Conjecture de Nahm

Bloch groups, algebraic $K$-theory, units, and Nahm's Conjecture

Frank CALEGARI, Stavros GAROUFALIDIS & Don ZAGIER
Groupes de Bloch, $K$-théorie algébrique, unités et Conjecture de Nahm
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 2
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F55, 11R70, 12G05, 11F03, 57K16
  • Pages : 383-426
  • DOI : 10.24033/asens.2537

Étant donné un élément du groupe de Bloch d'un corps de nombres $F$ et un entier $n$ strictement positif, nous construisons une unité explicite dans l'extension cyclotomique $F_n=F(e^{2 \pi i/n})$, bien définie à des puissances $n$-ièmes d'éléments non-nuls de $F_n$ près.  La construction utilise le dilogarithme quantique cyclique, et grâce à l'identification du groupe de Bloch de $F$ avec le $K$-groupe $K_3(F)$ donne aussi (à un scalaire inversible non identifié près) une formule pour une certaine classe de Chern abstraite de $K_3(F)$.  Les unités que nous définissons  coïncident conjecturalement avec les nombres qui apparaissent dans la conjecture de modularité quantique pour l'invariant de Kashaev des nœuds (ce qui constituait la motivation initiale de notre étude), et apparaissent également dans le comportement  asymptotique radial des sommes de Nahm au voisinage des racines de l'unité.  On utilise cette dernière connexion pour démontrer la conjecture de Nahm qui relie la modularité de certaines séries $q$-hypergéométriques à l'annulation des éléments associés dans le groupe de Bloch de $Qbar$.

Given an element of the Bloch group of a number field $F$ and a natural number $n$, we construct an explicit unit in the field  $F_n=F(e^{2 \pi i/n})$, well-defined up to $n$-th powers of nonzero elements of $F_n$.  The construction uses the cyclic quantum dilogarithm, and under the identification of the Bloch group of $F$ with the $K$-group  $K_3(F)$ gives (up to an unidentified invertible scalar) a formula for a certain abstract Chern class from $K_3(F)$. The units we define are conjectured to coincide with numbers appearing in the quantum modularity conjecture for the Kashaev invariant of knots (which was the original motivation for our investigation), and also appear in the radial asymptotics of Nahm sums near roots of unity. This latter connection is used to prove Nahm's conjecture relating the modularity of certain $q$-hypergeometric series to the vanishing of the associated elements in the Bloch group of $Qbar$.


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