Considérons le groupe simple fini $\mathbf{G}:=\mathrm{PSL}(2,\mathbf{F}_{11})$ d'ordre 660, qui admet une représentation irréductible $V_{10}$ de dimension $10$. Nous allons étudier un trivecteur $\sigma_0\in \bigwedge^3 V_{10}^\vee$ qui est $\mathbf{G}$-invariant. En suivant la construction de Debarre-Voisin, nous obtenons une variété hyperkählérienne $X_6^{\sigma_0}\subset\mathrm{Gr}(6,V_{10})$ lisse de dimension $4$ avec beaucoup de symétries. Nous allons aussi étudier la variété de Peskine associée $X_1^{\sigma_0}\subset \mathbf{P}(V_{10})$, qui admet $55$ points singuliers isolés et est également très symétrique. Cette dernière nous permet de mieux comprendre la géométrie de la variété spéciale $X_6^{\sigma_0}$. Nous discuterons aussi d'une application de cet exemple à la géométrie globale de l'espace de modules des variétés de Debarre-Voisin.