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Matrices commutant presque, cohomologie et dimension

Almost commuting matrices, cohomology, and dimension

Dominic ENDERS, Tatiana SHULMAN
Matrices commutant presque, cohomologie et dimension
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 6
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 46L05, 46L80
  • Pages : 1653-1683
  • DOI : 10.24033/asens.2563

Un vieux problème consiste à chercher, pour des familles de matrices commutant quelles relations sont stables sous de petites perturbations, ou en d'autres termes, quelles C*-algèbres commutatives $C(X)$ sont matriciellement semi-projectives. En prolongeant les travaux de Davidson, Eilers-Loring-Pedersen, Lin et Voiculescu sur les matrices commutant presque, nous identifions les restrictions dimensionnelles et cohomologiques précises pour l'espace de dimension finie $X$ et obtenons ainsi une caractérisation complète: $C(X)$ est matriciellement semi-projectif si et seulement si ${\dim(X) \leq 2}$ et $H^2(X;\mathbb{Q})=0$.

 Nous donnons plusieurs applications aux problèmes de relèvement pour les C*-algèbres commutatives, en particulier aux relèvements de l'algèbre de Calkin et aux C*-algèbres $\ell$-fermés dans le sens de Blackadar.

 It is an old problem to investigate which relations for families of commuting matrices are stable under small perturbations, or in other words, which commutative $C^*$-algebras $C(X)$ are matricially semiprojective. Extending the works of Davidson, Eilers-Loring-Pedersen, Lin and Voiculescu on almost commuting matrices, we identify the precise dimensional and cohomological restrictions for finite-dimensional spaces $X$ and thus obtain a complete characterization: $C(X)$ is matricially semiprojective if and only if $\dim(X)\leq 2$ and $H^2(X;\mathbb{Q})=0$.

We give several applications to lifting problems for commutative $C^*$-algebras, in particular to liftings from the Calkin algebra and to $\ell$-closed $C^*$-algebras in the sense of Blackadar.

 

Matrices commutant presque, algèbre de Calkin, C*-algèbre, K-théorie
Almost commuting matrices, Calkin algebra, C*-algebra, K-theory.

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