Soit $R$ un anneau intègre semi-local régulier contenant un corps $k$ infini. Soit ${f\in R}$ un élément tel que pour tous les idéaux maximaux $m$ de $R$ on a $f\notin m^2$. Soit $G$ un schéma en groupes réductifs sur $R$. Sous une hypothèse d'isotropie sur $G$, nous montrons qu'un $G$-torseur sur le localisé $R_f$ est trivial, à condition qu'il soit rationnellement trivial. Nous montrons que cette affirmation ne tient pas sans l'hypothèse d'isotropie. Enfin, si $G$ est un schéma en groupes commutatifs de type multiplicatif et l'anneau semi-local régulier contient un corps de caractéristique zéro, nous prouvons un analogue de la conjecture de pureté de Nisnevich pour les cohomologies étales supérieures.

    La première affirmation est dérivée de sa version abstraite concernant les préfaisceaux d'ensembles pointés satisfaisant certaines propriétés. Le contre-exemple est obtenu en construisant un torseur sur une famille locale de droites affines qui ne s'étend pas en un torseur au-dessus de la famille correspondante de droites projectives. Cette dernière est accomplie à l'aide de la technique des grassmanniennes affines.