On étudie les équivalences sous-linéairement bilipschitziennes (SBE), qui généralisent les quasi-isométries, en autorisant un terme d'erreur sous-linéaire par rapport à la distance à l'origine. L'introduction de telles applications a été initialement motivée par le fait qu'elles induisent des homéo-morphismes bilipschitziens au niveau des cônes asymptotiques. On démontre ici que pour les groupes hyperboliques, elles induisent également des homéo-morphismes hölderiens entre leurs bords de Gromov. Ceci permet d'obtenir de nombreux exemples de groupes hyperboliques qui ne sont pas SBE entre eux. En outre, on vérifie qu'être à croissance sous-exponentielle est invariant par SBE.

La partie centrale de l'article concerne les groupes nilpotents. Leur classification à SBE près se déduit des travaux de Pansu des années 80, mais la version quantitative reste à étudier. On introduit un invariant algébrique calculable $e=e_G<1$ pour les groupes nilpotents $G$ et on vérifie que $G$ est toujours $O(r^e)$-SBE à son groupe Carnot-gradué associé: la fonction $r\mapsto r^e$ est une borne sous-linéaire quantitative.

Enfin, on introduit les notions d'espaces métriques contractables à grande échelle, et homothétique à grande échelle. On vérifie, sous des hypothèses très générales, qu'elles impliquent être à croissance polynomiale, et on formule des conjectures sur les groupes ayant ces propriétés.