Soit $K$ un corps de nombres. On conjecture que le nombre de points de torsion, rationnels sur $K$, sur une courbe elliptique définie sur $K$ est majoré par une constante qui ne dépend que de $K$. (Pour $K=\mathbb {Q}$, cet énoncé a été démontré par Mazur, et la constante peut être prise égale à 16). G. Frey, le premier, a vu que la conjecture précédente est impliquée par une autre conjecture, énoncée par Szpiro en 1982, reliant discriminants et conducteurs de courbes elliptiques sur $K$. Nous présentons ici une démonstration de ce fait, en explicitant les liens entre les constantes qui interviennent dans les deux conjectures.