Ce séminaire est centré sur la « conjecture du discriminant » : sur un corps de nombres donné le discriminant minimal d'une courbe elliptique doit avoir une borne polynomiale en le conducteur de cette courbe. Quelques conséquences et limitations de cette conjecture sont exposés par D. W. Masser (borne inférieure pour le degré), M. Flexor et J. Oesterlé (points de torsion des courbes elliptiques), L. Szpiro (courbes de Fey, conjecture de Fermat, etc...). Un énoncé conjectural de « Mordell effectif » pour les courbes modulaires implique la conjecture (A. N. Parshin), ceci est montré, avec ses limites, dans les exposés de L. Moret-Bailly, J.-B. Bost, J.-F. Mestre, R. Elkik. Les isogénies de courbes elliptiques sont reprises dans l'exposé de D. Bertrand. C. Soulé relie des problèmes « classiques » d'analyse à la théorie d'Arakelov qui sous-tend tous les problèmes ici traités.