Parshin a montré qu'un analogue arithmétique de l'inégalité de Bogomolov-Miyaoka pour les surfaces complexes impliquerait, via une version effective de la conjecture de Mordell, la conjecture du discriminant de Szpiro (et par suite la “conjecture $abc$” et le grand théorème de Fermat en degré assez grand). On donne une démonstration complète de ces résultats, en partant d'une version affaiblie de l'inégalité de Bogolomov-Miyaoka.